第五章S域分析2016.pptVIP

本章引入 以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。使用复频率s进行系统分析，称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 这样，频域的傅里叶变换就推广到了复频域的拉普拉斯变换。 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 频谱函数 二、收敛域 选择 值，使双边拉普拉斯变换的积分收敛 例1 因果信号f1(t)= e?t ?(t) ，求拉氏变换 例2 反因果信号f2(t)= e?t?(-t) ，求拉氏变换。 例3 典型信号的双边拉普拉斯变换 单边拉氏变换 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 ?00 F(s)的收敛域包含j?轴，则f(t)的傅里叶变换存在. ?0=0 F(s)的收敛边界为j?轴. ?00 F(j?)不存在. 若f1(t)←→F1(s) Re[s]?1 f2(t)←→F2(s) Re[s]?2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]max(?1,?2) 例8 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost?(t)， 求系统的全响应y(t) 解： 方程取拉氏变换，并整理得 Yzi(s) Yzs(s) 电子与信息工程学院 第4-*页 电子与信息工程学院 电子与信息工程学院 第五章 连续系统的S域分析 5.4 复频域分析 5.3 拉普拉斯逆变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.1 拉普拉斯变换 电子与信息工程学院 目 录 连续系统的S域分析 5.1 拉普拉斯变换 目 录 电子与信息工程学院 引言 电子与信息工程学院 上一章的频域分析是以虚指数信号ejωt为基本信号。 任意信号可分解为若干不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化。其物理意义清楚，但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 复频率 s = σ+jω §5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 存在问题 阶跃函数的 傅里叶变换难以用上式求出；而指数增长函数 不存在傅里叶变换 解决办法 衰减因子 (?为实常数）乘信号f(t),使 在 时，趋于0，从而存在傅里叶变换 相应的傅里叶逆变换为 令 ,则 ,得 双边拉普拉斯变换对 称为 的双边拉普拉斯变换（或象函数） 称为 的双边拉普拉斯逆变换（或原函数） 可见，对于因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。 收敛域 收敛边界 收敛域如图所示 可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 Re[s]= ? – 2 Re[s]= ? – 3 – 3 ? – 2 f1(t)= e-3t ?(t) + e-2t ?(t) f2(t)= – e -3t ?(–t) – e-2t ?(–t) f3(t)= e -3t ?(t) – e-2t ?(– t) 注：双边拉普拉斯变换必须指明收敛域 典型信号的拉氏变换 1、 2、 3、 4、 5、 5.2 拉普拉斯变换的性质 目 录 电子与信息工程学院 §5.2 拉普拉斯变换性质 线性性质 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分 时域积分 卷积定理 s域微分 s域积分 初值定理 终值定理 一、线性性质 二、尺度变换 若 , Re[s]?0，且有实数a0 ， 则 三、时移特性 若f(t) -----F(s) , Re[s]?0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)?(t-t0)-----e-st0F(s) , Re[s]?0 与尺度变换相结合 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]?0 , 且有复常数sa=?a+j?a, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]?0+?a 五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]