第五章固体物理.pptVIP

讨论 （1）当 时 和 对应两个不同的能量状态。 禁带宽度： （2）当 时，同时假定 向上弯的抛物线 向下弯的抛物线 5.4 电子的布拉格反射 （1）在零级近似中，电子作为自由电子，能量本征值与k的关系曲线是抛物线。 （2）在周期势场的微扰下，曲线在 处断开，能量突变值为 （3）禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。 （4）N很大，故k很密集，可以认为 是k的准连续函数。 （5）每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a，而所包含的量子态数目是N，等于晶体中原胞的数目。 5.4 电子的布拉格反射 扩展式 按能量由低到高的顺序，分别将能带k限制在第一布里渊区、第二布里渊区，…等，一个布里渊区表示一个能带。 E(k)是k的单值函数，一个布里渊区表示一个能带。 特点 5.4 电子的布拉格反射 每个布里渊区都表示出所有的能带，E(k)是k的周期函数。 特点： 周期式 电子的能量： 晶体中电子的k态和k+Kh态是等价的，电子能量在波矢空间内，具有倒格子的周期性。 5.4 电子的布拉格反射 一维能带结构简约布里渊区 在这种表示中，k为简约波矢，即k限制在第一布里渊区内。E(k)是k的多值函数，为区分，将其按能量由低到高标记为 ， 。 特点： 在简约布里渊区表示出所有能带，可以看到能带结构的全貌，E(k)是k的多值函数。 简约式 5.4 电子的布拉格反射 5.5 平面波方法 模型：平面波方法是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。 势能 是具有周期性的函数，可以作傅氏展开。 由势场的周期性 因为 是实数，所以 因为 为正格矢，所以 必为倒格矢，即 (1) 微扰计算 哈密顿量可写为 为方便计算，取势能平均值V0=0，这样 5.5平面波方法 考虑到 后解薛定谔方程，由布洛赫定理可知波函数应为： 其中周期性因子 展成傅里叶级数， 将 代入薛定谔方程 5.5平面波方法 上式点乘 并对整个晶体积分得： 在上式求解过程中，利用了关系式： 5.5平面波方法 因为 有无数多个取值，所以上式是一个无限多项的方程式。在计算精度范围内，可取有限项平面波来作 的近似。在此情况下，上式就变为一个有限项的方程。这样的方程构成了一个齐次方程组。 有解的条件是，它的系数行列式为零。若以 为 行的指标， 为列的指标，行列式的元素为如下形式： 5.5平面波方法 由此行列式可求出电子的能量 。 如果电子的行为接近于自由电子时，其波函数与平面波相近: 其他系数 是小量；电子能量也与自由电子能量近似 在 中 电子的近自由电子行为是由势场决定的，此种情况的势场起伏不大，中心方程中的系数 是小量。若忽略掉二级小量，中心方程简化为： 5.5平面波方法 即 当 远离 时，由于 是小量，所以 也是小量，但当 时， 变得很大，此时中心方程中除 和 不能忽略外其它项仍是二级小量，可以忽略。中心方程化为: 5.5平面波方法 利用： 就可得到： 可知，当 时，波矢k将对应两个能级， 5.5平面波方法 两能极之间的能量区间称为禁带，禁带宽度为相应傅里叶分量绝对值的二倍。 发生能量不连续的波矢 满足的条件可改写为： 在禁带中不存在布洛赫波描述的电子态。 禁带宽度 0 ? 几何意义：在 空间中从原点所作的倒格矢 的垂直平分面的方程。 5.5平面波方法 令 ，则从图中可以看出，不仅 与 的模相等，而且，若把 看作 中 垂面的入射波矢， 恰是 中垂面的反射波矢。 若不考虑杂质和缺陷引起的散射，电子的散射只能是晶格引起的。波矢为 态的反射波就是与 垂直的晶面族引起的。由第一章知，这组晶面的面间距 0 ? 5.5平面波方法 由图可知 这正是与 垂直的晶面族对应的布拉格反射公式。 一维：属于一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对应不同的能带，在布里渊区边界能带与能带之间出现能隙。 (2) 三维能带与一维能带的区别 0 ? 5.5平面波方法 三维：与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔开，而可以发生能带之间的交叠。 A B C