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连续型随机变量常见的几种分布课件
连续型随机变量几种常见分布 由标准正态分布的查表计算可以求得, 这说明:X 的取值几乎全部集中在 [ -3, 3 ] 区间 内,超出这个范围的可能性仅占不到 0.3% 当X~N(0,1)时, P( |X| 1) = 2 (1)- 1 = 0.6826 P( |X| 2) = 2 (2)- 1 = 0.9544 P( |X| 3) = 2 (3)- 1 = 0.9974 (6) 3 原则 将上述结论推广到一般的正态分布,有: 时, 可以认为: Y 的取值几乎全部集中在 区间内。这在统计学上称作“3 准则” (三倍标准差原则) 已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正 态分布 ,如果规定零件的长度在 毫米之间为合格品. 求:生产零件是合格品的概率 解: 例3. 所求的概率为: 例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短,交通拥挤) 所需时间(分钟) 沿 B 路走(路程 长,阻塞少)所需时间(分钟) 若现在只有 30分钟. 问:分别选择哪一条路为好? 解: 依题意,选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: A 路: B 路: 结论:此时应选择A路 液体的温度X (以℃计)是一个随机变量,且 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内,调节器调整在 例5. (1) 若 , 求 X 小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率 不低于0.99,问 d 至少为多少? 三. 几种常见的连续型随机变量的分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为: 1. 均匀分布 则称 X 在区间 (a, b)上服从均匀分布 (或等概率分布) 记作 X ~ U(a, b) 注: ▲ 易证 满足: 0 的图形: ▲ X 落在区间 (a, b) 中任意等长度的子区间的可能性是相同的,即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. 均匀分布的概率意义: ▲ [证]: 即 X 落在 (c, d ) 内的概率只与 (c, d) 的长度有关, 而与(c, d) 在 (a,b) 中的位置无关. 均匀分布常见于下列情形: 比如: 在数值计算中,由于四舍五 入,小数点后某一位小数引入的误差;公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间,即乘客的候车时间等. 由分布函数定义可得:若X 服从均匀分布,则X 的分布函数为: 图形: ▲ 某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班 车,即 7:00,7:15,7:30, 7:45 等时刻有汽车 到达此站,如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量 (1) 乘客候车时间少于 5 分钟的概率 (2) 乘客候车时间超过10分钟的概率 例1. 试求: 解: X ~ U ( 0, 30 ) 设以7:00为起点0,以分为单位 为使候车时间X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间,或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30 等时刻有汽车到达汽站 故所求概率为: 依题意, 候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间 2. 指数分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为: 注: ▲ 易证 满足: 为常数 其中 则称 X 服从参数为 的指数分布 由分布函数定义可得:若X 服从指数分布,则X 的分布函数为: ▲ ▲ 指数分布的性质(无记忆性) 若X 服从指数分布,则: 对任意的 有: 若设X是某一元件的寿命,则上式表明:元件 对它已使用过 小时没有记忆。 ▲ 指数分布的图形特点 某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h)都服从同一指数分布,概率密度为 仪器在使用的最初200h内,至少有一个元件损坏的概率 例2. 试求: 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由数学家高斯加以推广,所以通常也称为高斯分布. 德莫佛 数学家德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面. 3. 正态分布 高斯 (1). 正态分布的定义 若随机变量 X 的概率密度为: 记作 : f (x) 所确定的曲线叫作正态曲线. 和 都是常数, 任意, 0, 则 称 X 服从参数为 和 的正态分布.
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