第4章弹塑性力学的解题(修改).pptVIP

第四章 弹塑性力学的解题方法 第二节 按应力求解弹性力学问题 第三节 平面问题和应力函数 第四节 逆解法和半逆解法 第六节 平面问题的极坐标解答 〖例1 P161〗 是单位厚度所受的力，显然，楔形体内任一点的应力分量是 的函数。应力分量的量纲为[力][长度]-2， 的量纲为[力][长度]-1， 的量纲为[长度]， 无量纲，所以应力分量只能为 形式。 即是说，在各应力分量的表达式中， 只能以负一次幂 出现，而从式 可以看出，应力函数 中的 的 幂次应比应力分量中 的幂次高出两次，从而可以假设应力 函 数为： （分离变量） 代入相容方程： 得： 其特征方程为： 解为： 所以原方程的通解为： 则有： 因为： 所以： 为线性项，它不影响应力表达式，可略去，得： 下面来确定常数C，D： 显然在左，右两面的应力边界条件是： 已自动满足 在楔体取一圆柱面 ，则上部应满足平衡条件，即： 积分得： 2、半逆解法 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察 是否满足相容方程以及边界条件等。如果满足，则可解，否则修改原来假设的函数。 〖例 P147 〗。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假设纵向纤维互不挤压，即有： 积分得出： 应满足双调和方程，有： （1） （2） 由于（2）式， 取任何值均应成立，即 略去 中对应力分量无影响的常数项和一次项，则： （3） 则有： （4） 根据下列边界条件，确定积分常数： （5） 但由该条件确定不了常数，因此可以考虑用等效力系代替，从而找到常数，这也是符合圣维南原理的。 在上端面用等效条件： ① 方向的合力为零， 将 的表达式代入： 代B进入（5）式有： ② 方向的合力为零即： 积分得： （7） ③ 合力矩为零即： 积分为： （8） 由（7）、（8）两式得： 第五节 边界上 及其导数的力学意义 用应力函数表示的边界条件为： 应力函数的引入，给求解平面问题带来了很大的方便，为了更有效地确定所给问题的应力函数，研究边界上 及其导数的力学意义是非常必要的。 （4－23） 现有一边界如图所示。 假设 的方向是由A点出发反时针方向为正，在AB之间取一段微弧 为正，相应 的 为正， 为负， 均为正，这时有（当 很小时）： 其中， 是 方向与 轴正向的夹角。推出： 由式（4－23）得出： 由高等数学定义的方向导数： （4－24） 现由A点出发，沿逆时针方向在边界上积分，求出合力分量：即： (4－25) (4－26) 式中， 和 代表边界AB 段上边界力的合力在 和 方向分量的大小 。 当初始点的 和 的值为已知，则可求出 和 。 若由A点开始，沿反时针方向在边界上积分求合力矩： 对原点O： 因为： 所以 （4－27） 式中， 为AB 段边界力对B点的矩。 由此可见，一旦A点确定，而且 已知，则可求出终点的 。 若设： 则有： 由上面分析可以看出，由于线性项不影响应力，所以 中的线性项 可以去掉，既是说可以假定 为零。即初始点可任意取，这就给出了利用边界条件确定应力函数特性的一种方法。 〖例1 P153 〗 解：A点为始点，并令： AB 边：（注意逆时针转） BC 边：（此时是对图示的 点取矩） 在 C 点： CD边： DA 边： 现将边界上的 值画于图（4－8），由以上分析，可以假设: 它满足双调和方程，同时满足边条，应力分量可推出为： 书中（2 P155）可自看。 结论：由于起始点不同，因而应力函数也不一样，由于只差常数项和一次项，因而求解的应力结果相