第二节聚点内点界点.pptVIP

第二节　聚点，内点，界点 １．欧氏空间中各类点的定义 注：内点、孤立点一定属于E；外点一定不属于E，聚点、边界点不一定属于E， 内点，外点、边界点与聚点的关系 例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点. 2.聚点的等价描述 设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使 3.开核，导集，闭包的性质 定理2 若 ，则 定理3 若 ，则 定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ， ， 从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使 中必有无穷多个都属于 或都 属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。 从而 。 综上 。证毕。 * * 第二章 点集 P0为 Ec的内点: P0为 E的内点： P0为 E的外点： P0为 E的边界点： P0为 E的聚点： P0为 E的孤立点： 例（1）令 E = Q ， 则 （2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。 结论：内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点. 开核与闭包的关系 证明：由条件知 P0 δ Pn 证明： 显然，下证 定理1：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 P0 δ Pn 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点 则上述取出的点列Pn是互异点列,且 证明：由聚点的定义知 保证收敛 保证点列互异 * *