复旦大学材料物理第8课.doc

第8课 简并微扰法——散射波较强的情况 当以及时，这两个状态能量相等，属于简并态的情况，此时我们必须用简并微扰法来处理。这时若认为是前进的平面波，那么就是布拉格反射波。零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合。实际上在波矢接近布拉格反射条件时，即?为小量时， 散射被已相当强。零级被函数也必须写成： 代入薛定鄂方程，有 分别从左边乘上或，然后对dx积分，就得到两个线性代数方程式【注意：或有正交关系】： 这组方程A、B有非零解的条件是 此方程的解为 或 其中 ，是自由电子的动能。 几种极限情况： ?＝0，则 即原来能量都等于Tn的两个状态，以及，由于波的相互作用很强，变成两个能量不同的状态，一个状态能量是，另一个是，其间的能量差为禁带宽度。注意，禁带发生在波矢以之处。禁带宽度等于周期性势能展开式中，波矢为的傅里吁分量V0的绝对值的两倍。 当，可以解出 若 ，则 。由此 当，可以解出 则 。由此 由此可见，零级近似的波函数代表驻波。在这两个驻波状态，电子的平均速度为零。产生驻波的原因是：波矢为的平面被，波长正好满足布拉格反射条件，遭到全反射，同入射波干涉，从而形成驻波。 在、的表达式式中选取某一个原于为坐标原点，可以画出波函数的几率密度分布，相当于的情况。的状态其能量为，是低能态，因为它在靠近正离子的区域几率较大，受到强的吸引，势能是较大的负值。的状态其能量是，是高能态，因为在靠近正离子附近几率密度小，相应的势能较高。 ，同时假定 保留到?2次项，可以展开为 以及 这说明在禁带之上的一个能带底部，能量随相对波矢?的变化关系是向上弯的抛物线。在禁带下边能带顶部，能量 随相对波矢的变化关系也是一个抛物线，但是向下弯的。所以在产生全反射的波长附近，关系有如图所示的形式。根据上述讨论，我们可以知道禁带出现在k空间倒格矢的中点上，禁带宽度的大小取决于周期件势能的有关傅里叶分量。 如果比大很多，即，由可有 这个结果同上节非简并微扰结果相近，在其他所有波矢状态中保留一个k’，它对状态k有特别大的影响。 【非简并微扰的结果：】 由以上讨论可知，自由电子的能谱是抛物线关系：，计入周期场的微扰作用，在波矢 处，发生能量不连续，形成了能带，产生的能带宽度依次为的禁带。在离这些点较远的波矢，电子能量同自由电子的能量相近。这些情况如图8．1．8中的粗线所示。还应注意波矢k和两个状态不是独立的，而是等价的。因为对于平移基矢算符T，这两个状态有相同的本征值。 注意：在同一能带中，给定一个k，其对应的能量是唯一的，而给定一个能量可以有多个k对应！ 能带的几个特点： k空间的平移对称性 k空间的反演对称性 在图5——16中，实线代表的E～k关系分成许多区域：波矢介到之间的区域称为第一个布里渊区；波矢介于到，以及到之间的区域称为第二个布里渊区，其余类推。既然，所以对于任何能带均可在到的波矢范围内表达。这个区间称为简约布里渊区。在简约布里渊区内E～k关系是多值函数，记为 ， 其中s是能带的编号。在k空间每个波矢占有的线度是．这里N是晶体的原胞数，而简约布里渊区在k空间的线度为，因而简约布里渊区中含有 个 简约波矢。每个能带有N个简约波矢标志的能态，计入自旋后每个能带可容纳2N个电子。 能带的三种表示图式 扩展能区图式 简约能区图式 周期能区图式 晶体中电子的速度、加速度和有效质量 现在讨论外场作用下晶体电于的运动规律，这首先要知道晶体中电子在波矢k0状态的平均运动速度，量子论告诉我们，粒子运动的平均速度相当于以k0为中心的波包移动的速度。 设波包由k0为中心的在?k范围内的波函数组成。?k的线度比布里渊区的线度小得多，在这样的?k范围可认为，描述波包的函数写成 令 则积分后的结果成为 相应的分布几率是 由此可知，【对上式求极值】波包中心的位置是 波包中心移动的速度为 【注意：】 由的表达式可知，波包在空间上集中在?x范围内，且有 【相当于在该式中】 而，即， 波包的大小如果大于许多个原胞，则晶体中电子的运动可以看作是波包的运动。波包的运动规律同经典粒子一样，波包移动的速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速度。 现在求在外力Fx作用下，晶体电子的加速度。按照力学原理，在dt时间内电子获得的能量dE等于外力所作的功，即 或 【注意：！】 加速度 ＝； 代入的表达式，有 由牛顿第二定律，对比后可以发现 m*：晶体电子的有效质量，由E～k的二阶导数决定。对于能带间断点，k0=n?/a，在根据表达式，在处，即能带的高能端，有 将Tn的表达式代入，可有 其中 ，是这个能带在k0处的数值，也是这个能带的最小能量。而 是这个能带底部电子的有效质量，这是一个正的量。能带底部的电子好象是一个具有质量为的电子。 类似地，对于k0