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第三节 尽可能地描述函数曲线：判断函数的单调区间，寻找特殊点—极值及拐点，曲线的凸性与渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数在函数研究中的应用 第三章 一、 函数单调性的判定法 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何上解释：  1.导数大于零：切线斜率大于0，单调增  2.导数小于零：切线斜率小于0，单调减 回忆：函数曲线在局部看成斜率为f’(x)的直线。 例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y在 y在 二、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值 点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 不可导点： 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点——导数为 0 或不存在的点： (2) 最大值 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 . 对于可导单调函数，对应的函数曲线 (1) 往上凸：位于该曲线上任一点切线的下方。该曲线被称为上凸曲线，对应的函数称为上凸函数。 (2)往下凸：位于该曲线上任一点切线的下方。该曲线 被称为下凸曲线，对应的函数称为下凸函数。 函数曲线上凸与下凸的分界点称为拐点 . 三、曲线的凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3.(凸性判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内是下凸的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内是上凸的 . “证”: 从前面图像可观察到： 下凸：曲线切线斜率越来越大，即导函数单增；二阶导数0. 上凸：曲线切线斜率越来越小，即导函数单减；二阶导数0. 严格证明见P71定理3.13：利用一阶泰勒公式（P71定理3.12)可得。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 例4. 判断曲线 的凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凸的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 则曲线的凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 例5. 求曲线 的凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 下凸 下凸 上凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 四、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 只讲： 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线