量子力学4氢原子与类氢原子的波函数与能级课件.ppt

电子云的径向分布曲线 从电子云的径向分布曲线可以看出这样一些有用的信息： ★ 每条该曲线有 n - l 个极大和 n - l - 1 个极小。 ★ 因为径向分布函数描述的是电子出现的几率随与核间的距离变化的情况。对此，我们可以看到： ① 在 l 相同而 n 不同的请况下，n 越大电子云沿 r 就扩展的越远。 ② 当 n 相同时， l 越小曲线上峰的数目就越多。 ③ 在 ② 所讨论的情况中，虽然 l 小者其主要的峰（即离核最远的峰）比 l 大者的主要峰离核更远，但其最小峰却比 l 大者的最小峰离核更近。在讨论多电子原子的屏蔽效应时应需要注意这种情况。 （2）角度分布的情况： 氢原子中电子按角度的分布是由球谐函数 Ylm ( θ , φ ) 来决定的，应与主量子数 n 无关。其按角度分布情况可用立体极坐标图形来描述。 首先选定原点与 z 轴。再从原点沿任一方向 （ θ ，φ ）引一直线，且取直线段的长度为 ∣Ylm∣。这样，所有这种直线的端点在空间就会形成一个曲面，并在该曲面的各部分标上 Ylm 的正，负号。这样的图形就是波函数的角度分布。 氢 原 子 的 s ， p ， d 轨 道 的 角 度 分 布 图 形 同上，但若取直线段的长度为 ∣Y2lm∣。这时，所有直线的端点在空间也会形成一个曲面，这样的图形就是电子云的角度分布。通常在电子云的角度分布图上也会按 Ylm 的正，负标上正，负号。 从角度分布可以看出这样一些常用的信息： ★ s 态的角度分布是球对称的。 ★ pz 状态的角度分布图是在 xy 平面上下的两个冬瓜型，且 xy 平面是它的节面。px , py 的情况与它完全相似，只是对称轴有所不同。 ★ dxz 的角度分布有四个极大值。分别在方向： 处，它有两个节面，即 xy 平面和 yz 平面。 ★ 一般而言，角度分布的平面节面数等于角量子数 l 。所以主量子数为 n , 角量子数为 l 的状态共有 n - 1 个节面。其中有 l 个是平面，其余是球面。 下页给出 f 轨道波函数的角度分布图。 部分 f 轨道波函数的角度分布图 （3）电子云的空间分布情况的描述： 电子云的空间分布可以使用等密度线的方法来表示。这里以 2pz 电子云为例，来介绍等密度面的作法。 氢原子的 2pz 波函数的数学表达式为： 相应的几率密度 ρ 等于： 对相同的 r ，当 θ = 0? 时 ρ 取最大值，且使用 ρ0 来表示。 即有： 当 θ 取其它值时， ρ 的变化情况如下表所列： §12 角动量算符的本征值与本征波函数 一.角动量算符 3.直角坐标系中角动量算符的表示: 1.经典角动量的定义: 2.量子力学中的角动量算符: 4.角动量平方算符: 5.与角动量算符有关的对易关系: 1) 该式给出角动量算符的一般定义. 6.球坐标系中角动量算符的表示: 2) 角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具有共同的本征函数系. 即角动量平方算符的本征值为: 角动量平方算符的本征函数为: ----缔合勒让德多项式 称为角量子数. 二.角动量平方算符的本征值与本征函数: 1.角动量平方算符的本征值方程: 利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数 Y(? ,? ) 为有限的条件下可求得: 构成正交，归一的完备系 三.角动量Z分量算符的本征值与本征函数: ! ! ----归一化系数 满足的正交归一化关系为: §13、电子在库仑场中的运动 ( U( r )为中心力场 ) 一﹑定态薛定格方程: 1﹑定态薛定格方程: 该方程的极坐标形式为： 2﹑分离变量: 设： 将其代入原方程，并用 去除方程两边，移项以后可得： 该方程左边只与 r 有关，而右边只与 θ，φ 有关。所以，如果两边能相等，那么只有他们同等于一个常数。并以 λ 来表示该常数，则有： 和 二﹑方程的解: ① ② 1﹑方程②就是角动量平方算符的本征值方程。 2﹑方程①的解： 把 λ = l（ l +1 ）代入方程 ① 可得： ---- 径向方程。 ① 能量本征值E： A）当E＞0时：对E的任何值，方程都有满足波函数标准化条件的解。 ----- 系统的能量具有连续谱。在这种情况下，电子已经摆脱核的束缚，处于电离状态。可以离开核，运动到无限远处。 B