量子力学_12.1Fermi气体模型课件.pptx

其他近似方法 第 12 章 Fermi气体模型：金属中的导电电子可以近似为限制在金属体内部自由运动的电子气. 考虑边长为L的方块金属，电子能级为 式中（nx,ny,nz）对应于三维空间任一象限中的一个格点.从原点引向此点的距离为n，且 12.1 Fermi气体模型 因此，式（1）改写为 电子气按能量分布的态密度为 1 )实线：极低温下的理想分布； 2 )虚线：室温下的分布 令Fermi 动量 则电子气的空间分布密度 利用式（4），可以求出完全简并气体中电子的平均能量 因此 （9） 例1 金属银块,质量密度为10.5g/cm3,银原子质量为 1.80 每个银原子有一个导电电子,所以电子气的 空间密度 代入式 (8),可求出 注意:在常温( )下 , 所以 热运动导致的电子气的 能态分布与完全简并Fermi气体的差别很小,如图12.1 的虚线所示. 电子气压强的估计.设外界对电子气作功 电子气 的体积缩小 ,则电子气压强p定义为 (11) 此时,电子气的内能增加 ,因此 (12) 对于完全简并Fermi气体 (14) 利用式(8)(注意 ),有 即 因此,电子气的压强为 对于银块,用前面求出的 和 代入, 可得出 12.2.1 能量本征方程与变分原理 能量本征方程 设量子体系的Hamilton 量为H，则体系的能量本征值可以在一定条件下求解能量本征方程 并满足归一化条件 （2） （1） 而得出.可以证明上述原则与变分原理等价. 12.2 变分法 设体系的能量平均值表示为 将式（3）代入式（4），并利用H的厄米性，得 此即能量本征方程. 变分原理与能量本征方程等价，其价值在于：根据具体问题在物理上的特点，先对能量本征函数做某种限制，然后给出试探波函数下的能量平均值，并让其取极值定出最佳的能量本征函数. 证明：设体系的包括H在内的一组守恒量完全集的共同本征态为 相应的能量本征值为 任意试探波函数总可以展开为 即 它说明用变分法求出的能量平均值 作为 试探波函数 的泛函,不管 如何选取, 总是不小 于基态能量的严格值 ,即给出了体系基态能量的一 个上限. 应该提到,用变分法计算出的能量与严格值的偏差,相对 于试探波函数本身与严格波函数的偏差,是二级小,所以 能级计算相对来说比较准确.例如,对于基态,试探波函数 为 为严格基态解. 正交, 只差一个归一化因子.因此 12.2.2 Ritz变分法 基本思想: 设体系的基态试探波函数取为 按变分原理，取 即 此即参数ci 满足的方程组，解之，得ci ，代入，即可得到体系的基态波函数和能量. （11） 要求 （12） 例 类氢离子的基态波函数 在10.1节例1中曾用微扰论计算过类氢离子的基态能量.零级近似波函数的空间部分取为两个类氢原子波函数的乘积 考虑到两个电子同处于1s轨道,除了感受原子核的 Coulomb引力之外,每个电子还要受到另一个电子的 Coulomb斥力,它部分抵消了原子核的Coulomb引力. 这称之为屏蔽效应.因此,不妨把试探波函数取为 (13) 式中 表示有效电荷, 是刻画屏蔽效应大 小的参数 .若 .则表示无屏蔽. 满足方程 (14) 此即一个1s电子在一个有效电荷为 的原子核的 Coulomb引力场中的能量本征方程.利用式(13)和(14) 可计算 (15) 经计算,得 (16) 所以 从而得出 (17) 代入式(16),所得 ,即基态能量 (18) 对于类氦离子,当剥掉一个电子后,剩下的一个电子 仍处于1s轨道.按类氢原子能量公式,它的能量为 因此,按变分法的计算结果,类氦离子的电离能为 (19) 而按微扰论一级近似计算结果 (20) 12.2.3 Hatree自洽场方法 物理根据：在原子中，电子受到原子核及其他电子的作用，可近似用一个平均场来代替. 原子的基态波函数表示为 及其复共轭方程，此即Hartree方程，是单电子波函数满足的方程. Hartree提出用迭代近似，最后达到自洽的方法来求