量子力学_3.1力学量用算符表达课件.pptx

第 3 章;量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如 ;量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复 共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.;(b) 算符之和;(c) 算符之积;由下列关系式:;对易式(commutator) ;则量子力学中最基本的对易关系可以化成:;推出;即角动量各分量的对易式为:;在球坐标系中 , 各分量可表示成;能够唯一地解出 ,则可以定义算符 之逆 为;(e) 算符的函数;;;; 算符 的复共轭算符 定义为;算符 之厄米共轭算符 定义为;满足下列关系的算符;定理 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数.;设 为厄米算符, 则在任意态 之下,; 来描述其状态的大量完全相同的 体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落.; 如果体系处于一种特殊的态, 测量;一般, 把常数记为 ,并把本征态记为 , 得到 称为 的一个本征值, 为相应的本征态.上式即算符 的本征方程.; 测量力学量 时所有可能出现的值, 都是相应的线 性厄米算符 的本征值. 当体系处于 的本征态 时, 则每次测量所得结果都是完全确定的,即 .;厄米算符的本征函数的一个基本性质:;简并问题; 出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此正交.; 在常见问题中,当出现简并时, 往往是用(除 之外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而把它的简并态确定下来. ;引入;引进厄米算符;即;或简记为;能是例外), 或者说他们不能有共同本征态.; 坐标 的共同本征态,即 函数;采用球坐标, 角动量的平方算符表示为; 考虑到 的本征函数可以同时也取为 的本征态;化简本征方程,得; 在 区域中, 微分方程有两个正则奇点, 其余各点均为常点.;利用正交归一性公式;所以, 的正交归一的共同本征函数表示为 ; 在上面的式子中, 和 的本征值都是量子化的.;3.3.3 对易力学量完全集(CSCO); 按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 ;如体系的 Hamilton 量不显含时间;关于CSCO, 再做几点说明:; 体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同;这里有两点值得提到:;3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达;(1) 在给定状态ψ 之下, 力学量 A 的平均值; 反之, 若;3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的; 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有限区域不为零.;;由Fourier积分公式, 对于分段连续函数;平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法; 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理. ;由周期条件, 得;此时, 与 相应的动量本征态取为;现在让 即动量的可能取值趋于连续变化.;在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的 . 在计算的最后结果才让 .;;设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符;;例如;注意;经验; 量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来表达, 其含义如下:;