量子力学典型例题分析解答课件.doc

量子力学例题 第二章?????????????????????????????? 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: ??????? ??????? ??????? ???????? 当? ,?? ???故有 ?????????????????? ????? ??????? 利用波函数在? ??处的连续条件 由 ?处连续条件:??? 由 ?处连续条件:??? ??????????????? ???? ???? 给定一个n 值,可解一个 ,? 为分离能级. 2．?? 势井中的运动? ??? 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 [解]体系的定态薛定谔方程为 当 时 对束缚态? ??? 解为 ???? 在 ?处连续性要求 将 ?代入得? 又? ???? 相应归一化波函数为: ??? 归一化波函数为: 3?????????? 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 ??? 求束缚态的能级所满足的方程 [解] 束缚态下粒子能量的取值范围为?? 当 ?时?? ??? 当 ?时?? ??? ???? 薛定谔方程为 令? ???? 解为 ???? 当 ?时?? 令? ???? 解为 当 ?时?? ???? 薛定谔方程为 ???? 令?? 薛定谔方程为 解为 由?? ???? 波函数满足的连续性要求,有 ?????????? ???? ?????????? ???? ?????????? ???? ?????????? ?????? ??????????? ????? ???? 要使 ?有非零解 ?不能同时为零 ???? 则其系数组成的行列式必须为零 ???? 计算行列式,得方程 例题: 1.算符运算;? 2.力学量的平均值;?? 3.力学量几率分布. 一.? 有关算符的运算 1.证明如下对易关系 (1) ????????????? (2)?? (3)??? (4)??? (5)?????????????????????????????????????????????????????? [证] ??????????? ?????????(1) ??????????? (2)? ??????????? ?????????????????????????????? ? ?????????????????????????????? ? (3)???? ???????? ???????????????????????????? ???????????????????????????????? ???????????????????????????? ???????????????????????????? 一般地,若算符 是任一标量算符,有??? ???? (4)????????? ????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ?????? 一般地,若算符 是任一矢量算符,可证明有 ????????????????????? ???????? (5) ???? ???????????????????????????? ? ??????????? ????????????????? ???????????????????????????? =0 同理： 。 2. ???? 证明哈密顿算符为厄密算符 [解]考虑一维情况 ???????????????????? ???????????????????? ??????????? ????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ?? ???????????????????? ?????????????????????????????????????? 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 ??????????????????? 为厄密算符???????? 为厄密算符 3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 , ???????? 取: 试证明: ??也是 和 共同本征函数, 对应本征值 ??????? 分别为: 。 ???????? [证] 。 ? ? 是 的对应本征值为 ? 的本征函数 ???????????????