量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质课件.pptx

第 5 章 中心力场 中心力场的特征： 中心力场是球对称场，势V(r). 几种特殊中心力场： 万有引力场 库仑场 －后者在原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 无限深球方势阱 －两者在原子核结构中常用 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 中心力场中运动粒子的特征： 角动量守恒 即 但 彼此不对易，由此得出： 能级必是简并的（角动量为零的态除外） 5.1.1 角动量守恒与径向方程 一、角动量守恒 二、径向方程 设质量为m的粒子在中心势V(r)中运动，则 Hamilton量表示为 对易关系 （2） （角动量守恒） 在球坐标系下，能量本征方程可写成 离心势能项 的共同本征态 构成守恒量的完全集合  取为 代入方程（1），得到径向方程 令 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并. 5.1.2 径向波函数在r→0邻域的渐进行为 假定V(r)满足 此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成 解得 即 当r → 0时， (10) (11) 按照波函数的统计解释，在任何体积元中找到 粒子的概率都应为有限值 因此，当l≥1时， 解必须抛弃. 的解才是物理上可以接受的. （12） 等价地，要求径向方程(7)的解 5.1.3 两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为 二粒子体系的能量本征方程为 引入质心坐标R及相对坐标r 其中 M = m1+m2 （总质量） （约化质量） (14) (15) 可证明 这样，方程（13） 化为 (16) （18） 代入（16）式，分离变量后，得 令 （17） ----描述质心运动 ----描述相对运动 考虑质量为m的粒子在半径为a的球形匣子中运动， 这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动 先考虑s态（l=0），此时，径向方程为 边条件为 (1) (2) (3a) (3b) 5.2 无限深球方势阱 在阱内，方程（2）化为 （4） 式中 （5） 代入（5）式,得出粒子能量本征值 相应的归一化波函数可表示为 （7） （8） （6） 解得 解得 即 ，再利用边界条件（3b） 其次,考虑l≠0情况，此时，径向方程为 （9） 边条件为 （10） （11） 此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数 （12） ,则方程（9）变为 引进无量纲变量 球方势阱内的解应取为 （13） 式中k由边条件（10）确定，即 （14） 粒子的能量本征值为 （15） 相应的能量本征函数表示为 （16） 当a→∞时，为自由粒子。此时，式（14）自动满足，能量连续变化 nr l 0 1 2 3 0 1 2 3 π 4.493 5.764 6.988 2π 7.725 9.095 10.417 3π 10.904 12.323 13.698 4π 14.066 15.515 16.924 较低的几个根见表 较低的几条能级见图 考虑质量为m的粒子在三维各向同性线性谐振子势V(r)中运动 （1） w是刻画势阱强度的参量，径向方程为 5.3 三维各向同性谐振子 r=0，是微分方程的奇点，其余r为常点. 现在研究当r0及r 时，解Rl(r)的形式 当r 时，方程（3）化为 Rl(r)有两个解 因此方程（3）的解可以表示为 代入（3）式,得 （8）式属于合流超几何方程，其中参数 方程（8）有两个解 由于 在ξ～0邻域，u2解是物理上不能接受的，因此，方程（8）的解只能取 合流超几何函数表示为 ，添上自然单位得 三维各向同性谐振子的能量本征值 对于束缚态，必须要求F(a, g,ξ)中断为一个多项式，从 （11）式看出，这要求a＝0或负整数 径向波函数(添上自然单位)为 经归一化后 nr=0,1的径向波函数分别 讨 论 1、能级简并度 三维各向同性谐振子的能级一般是简并的.表现为能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合