量子力学中心力场氢原子课件.ppt

§3.3 电子在库仑场中的运动 史特思—盖拉赫实验 下图示出了各种 ?,m态下，W?m(?) 关于 ? 的函数关系，由于它与 ?角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。 例1. ?=0, m=0，有 ： W00 = (1/4?)，与 ? 也无关，是一个球对称分布。 x y z 例2. ?=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 ? 。在? = π/2时，有最大值。 在? = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。 例3. ? = 1, m = 0 时，W1,0(?) = {3/4π} cos2?。正好与例2相反，在? = 0时，最大；在? =π/2时，等于零。 z ? z y x ? x y Z ? x y z 四、能量的本征函数和能级的简并度 En 的本征函数 本征函数?nlm (r, ?, ?)也就是在一定的主量子数n、角量子数l和磁量子数m时氢原子(或者说氢原子中的电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。 能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, ?, m 有关，故能级存在简并。 n2个量子态都对应于相同的能量本征值En ，这种情形就称为能级En 是简并的，或者更具体地说，定态能级En的简并度是n2。 当 n 确定后，? = 1,... n - 1，所以 ? 最大值为 n - 1。当 ? 确定后，m = 0,±1,±2,...., ±?。共 2? + 1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为： n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1 =μZ2 e4 / 2 ?2， 相应基态波函数是ψ100 = R10 Y00，所以基态是非简并态。 该几率与 ? 角无关 五. 几率密度随角度变化 电子在 (θ,?) 附近立体角 d? = sin? d? d?内的几率 Ψ2 ：原子核外出现电子的概率密度。 电子云是电子出现概率密度的形象化描述。 x y z 例1. ?=0, m=0，有 ：W00 = (1/4?)，与 ? 也无关，是一个球对称分布。 氢原子的激发态 1 2s态: n=2, l=0, m=0 节面 峰数=n－l [2，1] [3，1] [4，1] 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 r / a0 a0Wn l(r) Wn l (r) ~ r 的函数关系 [n，l] Rn l (r) 的节点数 n r = n – ? – 1 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 例2 n=1,?=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 ? 。在? = π/2时，有最大值。 在? = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。 例3. n=1, ? = 1, m = 0 时，W1,0(?) = {3/4π} cos2?。正好与例2相反，在? = 0时，最大；在? =π/2时，等于零。 z ? z y x ? x y Z a0Wn l(r) r / a0 2 2p态:n =2 , l =1 , m = +1,0,-1 n = 2, l = 1, m = 0 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1, m = 0 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1 m = -2 m = +2 m = +1 m = -1 m = 0 n=3 ? = 2 3 3d态: n=3, l=2, m=0, n=3, l=2, m=0 n=3, l=2 n=3, l=2 * * 性质: 中心力场的一般概念 质量为m的粒子在中心力场中运动，能量算符为: 考虑电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为： V=-Zes2/r 体系 Hamilton 量 H的本征方程 （一）有心力场下的 Schr?dinger 方程 将拉普拉斯算符写为球坐标的形式 (参见梁昆淼《数学物理方法》§40) 于是方程可改写为： 波函数表示为 将波函数代入得 即 分析 将Y(?,?)表示为两个函数的乘积 设常数m2，则上式分成两个方程 球谐函数 上式的解是 ?(?)是单值的，满足?(?) = ?(? +2?)，即 m只能取整数0, ?1, ?2, … 可见 ?m ?? l ，即 m = 0, ?1, ?2, …, ? l 将?(?)和?(?)合并，并正交归一化，得 球谐函数 (参见梁昆淼《