量子力学_8.1电子自旋态与自旋算符课件.pptx

第 8 章 自 旋 8.1 电子自旋态与自旋算符 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以写为 考虑到自旋 sz 只能取±/2 两个离散值，因此可以使用二分量波函数,即 称为旋量波函数. 其物理意义如下： 是电子自旋向下 ， 位置在r 处的概率密度. 位置在r 处的概率密度， 归一化条件表示为 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±/2 的概率， 归一化条件表示为 8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系： 则式(9)可以表示为 可以证明 的三个分量反对易 式（11）和（14）联立得 式（15）与（13）归纳为 习惯上取相角 得出Pauli 算符的下列矩阵表示 称为Pauli 矩阵. 在中心力场中的电子，计及自旋轨道耦合作用后，轨道角动量l 和自旋s 分别都不是守恒量，但它们之和l+s，即总角动量j是守恒量，并且三个分量满足 8.2 总角动量的本征态 令 （2） 另外l2 仍是守恒量，因此，中心力场中电子的能量本征态可以选为一组对易守恒量完全集(H, l2 , j2 , jz)的共同本征态，而空间角度部分和自旋部分的波函数则可取为(H, l2 , j2 , jz)的共同本征态. 1.要求 是的 本征态. 即 （6） 2.要求 是jz 的本征态. 得 其中 利用 在Pauli 表象中 （13） 代入方程(14)，可得 利用归一化条件，并取适当相位，可得出( l2,j2,jz)的共同本征态 (20b) (20a) ( l2,j2,jz)的本征值分别为 概括起来，( l2,j2,jz)的共同本征态可记为 讨论l=0 的情况，此时总角动量即自旋, j=s=1/2,而 mj=ms=±1/2,波函数表示为 在光谱学上习惯用下列符号标记这些态： l 0 1 2 3 4 j 1/2 1/2 3/2 3/2 5/2 5/2 7/2 7/2 9/2 光谱学 符号 s1/2 p1/2 p3/2 d3/2 d5/2 f5/2 f7/2 g7/2 g9/2 8.3.1 碱金属原子光谱的双线结构 选对易守恒量完全集（H ,l2, j2, jz）,即令 碱金属原子有一个价电子，其Hamilton 量为 代入能量本征方程，得到如下径向方程： 8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应 由于电子能量本征值与量子数(n,l,j)都有关，记为Enlj，是2j+1重简并. 在原子中， 因此 根据Hellmann-Feynman定理可证 （5） 即 （6） 这就是观测到的光谱双线结构.计算也表明自旋轨道耦合造成的能级分裂△E随原子序数Z增大而增大. 8.3.2 反常Zeeman 效应 1.正常Zeeman效应 在强磁场中,原子光谱发生分裂(一般为三条)的现象,称为正常Zeeman 效应. 若外磁场很强,且考虑自旋,但略去自旋轨道耦合，则Hamilton 量表示为 相应的能量本征值为 选对易守恒量完全集( H ,l2,lz, sz ),即令 2.反常Zeeman 效应 若所加外磁场B很弱时，此时需要考虑自旋轨道耦合，价电子的Hamilton 量为 设先忽略式（10 )的最后一项，则对易守恒量完全集可取为（ H ,l2, j2, jz ）,Hamilton 量的本征态仍可表示为 相应能量本征值 下面提供处理Hamilton 量（10）最后一项的一个近似方法(即一级近似简并微扰论). 设两个电子的自旋为s1与s2，则两个电子的自旋之和 由 可证明s 的三个分量满足下列对易式 8.4.1 自旋单态与三重态 8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态 可以选 ,或 ,为对易自旋力学量完全集， 求 的本征态： 1.求 的本征态. 相应本征值为ħ，- ħ，0，0. 2. 求 的本征态. 利用 （6） 另外，令s2的本征态为 及 （7） 由(10)式得出 （11） 此方程组有非平庸解的条件是 解得λ= 0，2. 代入式（11），得 再利用归一化条件，可求出 s2 的归一化本征态为 的共同本征态记为 ，s=1, MS=±1，0 的三个态称为自旋三重态，而S=0, MS=0的态称为自旋单态,如下表所示. (s2,sz) 共同本征函数 S Ms 1 1 1 0