量子力学_6.1电磁场中荷电粒子的运动及两类动量课件.pptx

第 6 章 电磁场中粒子的运动 质量m，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton量为 一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述） A：电磁矢势 ； f：电磁标势 ； P：正则动量。 6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量 将（1）式代入正则方程，有 (2) 即可得出 （3） 上式（3）即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程. 式（3）中右边第二项即Lorentz力，实验证明是正确的. 证明（3）式 以x分量为例，按式(1)和(2)有 （5） （6） 所以 因而 可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量 并不相等. 将式(5)对t微分，利用(4)和(6)得 所以 二、电磁场中荷电粒子的Schrödinger方程 则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符可表为 因而Schrödinger方程可表为 按照证明对易关系的一般方法,可以证明 讨 论 1. 定域的概率守恒与流密度 式(11)取复共轭 , A与f为实，在坐标表象中 即 式中 流密度算符 理解为粒子的 速度算符 2. 规范不变性 电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时 电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的. 但Schrödinger方程（9）中出现 A和f，是否违反规范 不变性？ 否！！ 可证明 波函数如做相应的变换 则y 满足的Schrödinger方程，形式上与y同，即 一、正常Zeeman效应 原子中的电子,可近似看成在一个中心平均场中运动,能级一般有m简并.实验发现,把原子（光源）置于强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条,此即正常Zeeman效应. 在原子大小范围内,实验室里常用的磁场可视为均匀磁场,不依赖于电子的坐标. 设磁场为B,则相应的矢势A可取为 6.2 正常Zeeman效应 取磁场方向为z轴方向，则 对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，价电子的Hamilton量可表示为 式中 是角动量的 z 分量 式(2)还比较复杂.根据物理实际,式(2)还可以化简. 在原子中， 实验室中的磁场强度 ,可以估算出(2)式中 因此可略去B2 项 二、加外磁场后的能级分裂 对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量 属性 外加磁场前 加均匀磁场(沿z方向)后 哈密顿量 对称性 球对称 球对称性破坏，但有绕z轴的旋转对称性 守恒量完全集 相应的能量本征值为 显然加外磁场前后的能级分裂情况是不一样的. 属性 加外磁场前 加外强磁场（z方向）后 对称性 球对称性 球对称性破坏，只有绕磁场方向的旋转对称性 能量本征值 简并度 m简并 2l+1 能级m简并全部消除，分裂成2l+1条能级 能级简并消除→能级发生分裂 由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂. 下图是钠原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman分裂. 无外磁场 加强外磁场 原来的一条钠黄线(l≈5893Å)分裂成三条,角频率为 w ,w±wL.所以外磁场越强,则Zeeman分裂越大. 一、电子的Hamilton量 考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B中运动,则相应的矢势A可取为 取磁场方向为z轴方向，则 6.3 Landau能级 电子的Hamilton量表示为 为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去， 集中讨论电子在xy平面中的运动，此时 为Larmor频率. 式(3)中,B(即wL)的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或磁场极强时,B2项就必须考虑. 二、电子的本征态和本征值 征态，即（采用平面极坐标） 代入能量本征方程，可求得径向方程 电子的能量本征态可取为守恒量完全集 的共同本 可解出能量本征值E ( Landau能级 ) 相应的能量本征函数（径向部分）为 F为合流超几何函数，nr表示径向波函数的节点数 (r＝0,∞除外). 三、能级的简并度 1. Landau能级简并度 二维各向同性谐振子 （自然频率为w0） 能级 简并度 均匀磁场中的电子 ∞ 对于较低的几条能级的简并度分析 (6)式所示电子能量(＞0)可以看成电子在外磁场B中 感应而产生的磁矩mz与外磁场的相互作用-mz B，而 上式中的负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有的 反磁矩