量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换课件.pptx

*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交 标积 我们将其称之为基矢的正交归一关系. A1、A2代表A在坐标系中的投影. 称为矢量A在坐标系x1x2中的表示. 7.1 量子态的不同表象，么正变换 二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到 x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足 在此坐标系中,矢量A表示成 其中投影分量是 同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？ 根据(2)和(2)式 上式分别用e1′和 e2′点乘,得 表成矩阵的形式为 或记为 把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定. 三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质： 是R的转置矩阵 真正交矩阵 （实矩阵） 四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。 形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象） 对于任意态矢量y ，可以用它们展开 其中 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 ya ,它们满足正交归一性 对于任意态矢量y ，可以用它们展开 显然 其中 F′表象基矢与F表象基矢的标积 (15)式也可以写成矩阵的形式： 简记为 式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在 F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且 变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换. 一、直角坐标系中的类比 仍以平面矢量作类比 （逆时针转动q角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成 令 *7.2 力学量（算符）的矩阵表示 写成分量的形式，有 即 （2）式的矩阵表示 把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画 它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素 与上类比,设量子态y经过算符 运算后变成另一个态f 在F表象中,上式表示为 其中 式(6)表示成矩阵形式则为 [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 解：利用一维谐振子波函数的递推关系 二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. 可以计算出 注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样 而 所以 是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵. 三、力学量的表象变换 F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵元 F′表象（基矢ya）中，力学量L表示为矩阵（Lab）,矩阵元 得 即 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 分别表示力学量 是从F表象→F′表象的么正变换 三、总结与比较 量子态 力学量 表象（基矢 ） 表象（基矢 ） 7.3.1 Schrödinger方程 在F表象中(设F本征值为离散) 代入（1）式得 7.3 量子力学的矩阵形式 写成矩阵的形式是 此即F表象中的Schrödinger方程. 7.3.2 平均值 ，力学量(算符) 在量子态 的平均值为 在y态下 7.3.3 本征方程 即 这是ak的齐次线性方程组. 方程组有非平庸解的条件是系数行列式为零，即 明显写出： 如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程， 有N个实根.记为 分别用 代入式（8），可求出相应的解 可以得到 表成列矢的形式为 注意：若有重根，则会 出现简并（不同的态对 应相同的能级），简并 态还不能唯一确定. 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket) Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象 2. 运算简捷 Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成. 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如 7.4 Dirac符号 分别表示坐标、动量和能量算符的本征态. 7.4.2 标积 而 定义两个态矢 和 的标积 的形式为 对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为 而动量算符的本征态的正交归一性可写为 7.4.3 态矢在具体表象中的表