量子力学第7章1课件.ppt

* 第7章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） ~三维 本征函数 任意矢展开 任意态展开 取不同坐标系 取不同表象 ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 基矢 ~无限维 为此，我们将 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； 给出态和力学量算符在该空间的表示； 建立各种不同表象之间的变换关系。 由此可见，可以类似于矢量 ，将量子力学“几何化”→在矢量空间 中建立它的一般形式。 7.4 希尔伯特空间 狄拉克符号 欧氏空间的矢量 →坐标系中的分量 ………. 狄拉克符号 “ ” ~类比： 引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 、希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。 定义内积： 复数， ~归一化； 正交； ~正交归一； ~连续谱的正交归一。 ；② 。 2. 完备性： 3.内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 1. 线性：① 二、量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 2. 任意态矢可用一组完备的基矢展开： 3. 态可以求内积： ~ 以 其中 为基， 取 的左矢： ，有内积 1. 态矢符合线性空间的要求： 上式已利用了连续谱的正交归一性 1、算符对左矢的作用： 存在，其意义（定义）为 。 三、希尔伯特空间的算符 算符 2、厄米共轭算符： ，称 ，即 有 （自证）。若 则厄米算符。 。 4、取乘积的厄米共轭规则（反序）： 3、矢量的外积： ~ 是一个复数，而外积 ~ 是一个线性算符（并矢）。 内积 例： 为厄米算符，试计算 解：注意到，对于复数，“*”=“+”，故 ， 。 ~ 这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。 5、投影算符： 作用于任意态矢 的分量： 6、基矢的完备性（这是非常有用的性质）： 由单位算符 的定义： 知 对连续谱，有 7、本征值方程： （分立谱）或 （连续谱）。 8、算符的自然展开式： 可见，力学量算符由它的本征值谱 和本征矢完全集 完全确定。 7.2 态和力学量的表象表示 (本节可主要由学生自学，只列出要点) 在具体计算时，要取“坐标系” --- 表象 取力学量 （也可以代表一个力学量完全集）： 的正交归一本征态完备系为基矢 ，则称为 -表象。 以 一、态的表象表示 -表象：基 ，本征值谱 ，有 我们以分立谱为例讨论（请自学连续谱）。 任意态： ， , 在 表示态与 表示态完全等价） -表象中的表示。 （ 矩阵形式： 特别地， 体系处于 的本征态： 。 二、算符的表象表示 -表象：由 即 ： 为 在 -表象的表示（“投影”）， 为 在 -表象的表示（“投影”）， 为 在 -表象的表示（“投影”）。 矩阵形式： 或简写成 。 7.3 量子力学公式的表象表示 （我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。） 二、平均值： -表象： -表象： 一、 归一化条件： 。 -表象： 记 三、 本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解（重点） 即有 写成矩阵形式： 这是关于 的齐次线性方程组，具有非零解的条件是： 久期方程 即 求解方法： 由久期方程→ ；②代入方程组→ ；③由此得本征矢 例：在（ ）的共同表象中， 的矩阵表示为 求它的本征值和归一化本征矢。 ， 解： 设 （1） 矩阵方程为 令 ，有 。 其久期方程为 将 代入（1）式可得 ，即 。 由归一化条件： （取实数）， 。 ② 将 代入（1）式可得 。