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量子力学第7章1课件
* 第7章 量子力学的表述形式 (本章对初学者来讲是难点) 表象:量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容,我们先进行一下类比: 矢量(欧几里德空间) 量子力学的态(希尔伯特空间) ~三维 本征函数 任意矢展开 任意态展开 取不同坐标系 取不同表象 ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 基矢 ~无限维 为此,我们将 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间; 给出态和力学量算符在该空间的表示; 建立各种不同表象之间的变换关系。 由此可见,可以类似于矢量 ,将量子力学“几何化”→在矢量空间 中建立它的一般形式。 7.4 希尔伯特空间 狄拉克符号 欧氏空间的矢量 →坐标系中的分量 ………. 狄拉克符号 “ ” ~类比: 引入狄拉克符号的优点:①运算简洁;②勿需采用具体表象讨论。 、希尔伯特空间的矢量 定义:希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间,并且一般是无限维的。 定义内积: 复数, ~归一化; 正交; ~正交归一; ~连续谱的正交归一。 ;② 。 2. 完备性: 3.内积空间: 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 1. 线性:① 二、量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 (此属“符号问题”,仅作简要介绍,主要由学生自己通过练习来熟悉符号) 2. 任意态矢可用一组完备的基矢展开: 3. 态可以求内积: ~ 以 其中 为基, 取 的左矢: ,有内积 1. 态矢符合线性空间的要求: 上式已利用了连续谱的正交归一性 1、算符对左矢的作用: 存在,其意义(定义)为 。 三、希尔伯特空间的算符 算符 2、厄米共轭算符: ,称 ,即 有 (自证)。若 则厄米算符。 。 4、取乘积的厄米共轭规则(反序): 3、矢量的外积: ~ 是一个复数,而外积 ~ 是一个线性算符(并矢)。 内积 例: 为厄米算符,试计算 解:注意到,对于复数,“*”=“+”,故 , 。 ~ 这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。 5、投影算符: 作用于任意态矢 的分量: 6、基矢的完备性(这是非常有用的性质): 由单位算符 的定义: 知 对连续谱,有 7、本征值方程: (分立谱)或 (连续谱)。 8、算符的自然展开式: 可见,力学量算符由它的本征值谱 和本征矢完全集 完全确定。 7.2 态和力学量的表象表示 (本节可主要由学生自学,只列出要点) 在具体计算时,要取“坐标系” --- 表象 取力学量 (也可以代表一个力学量完全集): 的正交归一本征态完备系为基矢 ,则称为 -表象。 以 一、态的表象表示 -表象:基 ,本征值谱 ,有 我们以分立谱为例讨论(请自学连续谱)。 任意态: , , 在 表示态与 表示态完全等价) -表象中的表示。 ( 矩阵形式: 特别地, 体系处于 的本征态: 。 二、算符的表象表示 -表象:由 即 : 为 在 -表象的表示(“投影”), 为 在 -表象的表示(“投影”), 为 在 -表象的表示(“投影”)。 矩阵形式: 或简写成 。 7.3 量子力学公式的表象表示 (我们以分立谱为例,主要讲要点和思路,具体细节可由学生自学。) 二、平均值: -表象: -表象: 一、 归一化条件: 。 -表象: 记 三、 本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解(重点) 即有 写成矩阵形式: 这是关于 的齐次线性方程组,具有非零解的条件是: 久期方程 即 求解方法: 由久期方程→ ;②代入方程组→ ;③由此得本征矢 例:在( )的共同表象中, 的矩阵表示为 求它的本征值和归一化本征矢。 , 解: 设 (1) 矩阵方程为 令 ,有 。 其久期方程为 将 代入(1)式可得 ,即 。 由归一化条件: (取实数), 。 ② 将 代入(1)式可得 。
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