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量子力学补充习题课件
量子力学补充习题集
物理系理论物理教研室
2010年3月
第一章 量子力学的实验基础
1-1 求证:﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时,普朗克公式简化为维恩公式;﹙2﹚当波长较长(频率较低),温度较高时,普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1,假设太阳平均辐射波长是5500,问这相当于多少光子?
1-3 一个质点弹性系统,质量m=1.0kg,弹性系数k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件,问量子数n为何?若n变为n+1,则能量改变的百分比有多大?
1-4 用波长为2790和2450的光照射某金属的表面,遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均已知,试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev能量,今有波长为2000的光投射到铝表面,试问:(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)铝的红限波长是多少?
1-6 康普顿实验得到,当x光被氢元素中的电子散射后,其波长要发生改变,令λ为x光原来的波长,为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为 其中m为电子质量,θ为散射光子动量与入射方向的夹角(散射角)
1-7 根据相对论,能量守恒定律及动量守恒定律,讨论光子与电子之间的碰撞:(1)证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的;(2)证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长是多少?
1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化光子的波长最大是多少?
1-10 试证明在椭圆轨道情况下,德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
1-11 讨论受热He原子束为简单立方晶格(?)所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。
第二章 波函数和薛定谔方程
2-1 设粒子的波函数为,求在()范围内发现粒子的几率。
2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为:。试表出在球壳()中找到粒子的几率。
2-3 沿直线运动的粒子的波函数。(1)试将ψ归一化。(2)画出几率分布曲线。(3)在何处最易发现粒子,而该处的几率密度为何?
2-4 作一维运动的粒子处在的状态中,其中λ>0。(1)将此波函数归一化,试说明如其在t=0时刻归一化了,那么在以后的任何时刻都是归一化的。(2)粒子的几率分布函数为何?
2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态?
(1)
(2)
(3)。
2-6 由下列定态波函数计算几率流密度:(1) (2)从所得的结果说明表示向外传播的球面波,表示向内(向原点)传播的球面波
2-7如在势能上加一常数,则其薛定谔方程的定态解将如何变化?试说明此变化后为何不能观察到(选择无穷远处的U为零)。
2-8 设体系的波函数为,式中,和为常数。为使此波函数满足定态薛定谔方程,应是怎样的函数?
2-9 设和是薛定谔方程的两个解,证明与时间无关。
第三章 简单体系定态薛定谔方程的解
3-1 设粒子在无限深方势阱中运,能量的量子数为n,试求:(1)距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少?(2)n取何值在此处找到粒子的几率最大?(3)当时,这个几率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?
3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子,并设势阱宽度为1?,试求:(1)两个最低能级间的间隔;(2)电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。
3-3 试将一维自由粒子的定态波函数和组合成具有确定宇称的波函数。
3-4 对于任意势垒,试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1, (取E>U0)
3-5 一束粒子入射在一窄势垒()上,如其垒高U0为粒子动能的二倍时,证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。
3-6 用以下一维势场模型:来研究金属电子的发射,求E0时的透射系数D。
3-7一势垒的势能为 式中U0,A,a均为正数。试估算AEU0+A的粒子穿过这个势垒的几率。
3-8 对于谐振子的基态,计算粒子在经典振幅以外出现的几率。
3-9 对于谐振子的第一激发态,(1)求振子出现几率最大的位置;(2)求经典振幅A;(3)计算振子在经典振幅以外出现的几率。
3-10 设质点为m的粒子在下列势阱中运动,求粒子的能级和波函数。
3-11 将一维谐振子置于额外的均匀力场中,势能成为,求能级的变化。
3-12 粒子在势能为 的势场中运动(U1<U2),在U1,U2>E下,求解粒子的能级和波函数。
3-13 给定U(x)=–U0δ(x),求束缚态能级。
第四章 态叠加原理
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