量子力学课件-薛定谔方程课件.ppt

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量子力学课件-薛定谔方程课件

§4 Schrodinger 方程的建立 (一) 引言 (二) 自由粒子满足的方程 (三) 势场 V (r) 中粒子的方程 这个问题,由Schrodinger在1926年解决, 他提出了一个微观实物粒子的波动方程, 由此方程可解得所需要的波函数。 微观粒子的运动状态用波函数Ψ(r,t)完全描述,就是说,由波函数可求得粒子任何力学量可能值的几率分布信息, 因而,波函数完全描写了微观粒子的状态(Ψ(r,t)称为态或态函数)。 因此,量子力学最核心的问题就是: 如何找出描述处于各种情况下的微观粒子的波函数? (一) 引言 (二) 自由粒子满足的波动方程 自由粒子的波函数: --(1) 即: ---(2) 利用 由(1)和(2)式可得 ---(3) (三)势场 V(r) 中粒子的波动方程 该方程称为 Schrodinger 方程,也常称为波动方程。 该方程的每个解,都是场 V(r) 中粒子的一个可能的态函数。 若V(r)是库伦场势,则方程的解代表库伦场中粒子的态。 若V(r)是谐振子势场,则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。 … … 态叠加原理一般表述: 若Ψ1 ,Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态,则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系,部分的处于 Ψ1态,部分的处于Ψ2态...,部分的处于Ψn,... 一般情况下,如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态,那末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数,这就是量子力学的态叠加原理。 态叠加原理: (一) 定域几率守恒定律 低能非相对论实物粒子,没有产生和湮灭,粒子 数应不变。 对一个粒子而言,在全空间出现的几率总和应不 变,即: 证: 令 则有: 此式表明:几率守恒 (7) (8) 其形式与电学中连续性方程的形式相同 J是几率流密度矢量。 在空间闭区域τ中将上式积分,则有: 闭区域τ找到粒子的总几率在单位时间内的增量 所以(9)式是几率(粒子数)守恒的积分表示式。 式(7)中令τ → ∞,可得: 使用 Gauss 定理 单位时间内通过τ的封闭表面 S 流入τ内的几率 S ? (9) 讨论: (2)这里的几率守恒具有定域性质,当空间某处几率减少了,必然另外一些地方几率增加,使总几率不变,并伴随着某种流来实现这种变化。 (1)上式表明,粒子在全空间出现的几率不随时间改变,其物理意义是粒子既未产生也未消灭. (二)再论波函数的性质 1. 由 Born 的统计解释可知,描写粒子的波函数已知后,就可求出粒子在空间的几率分布,即 ω(r, t) = C|ψ(r, t)|2 (1)波函数完全描述粒子的状态 (2)波函数标准条件 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件,该条件称为波函数的标准条件。 2. 已知 ψ(r,t), 则任意力学量的可能值的几率,也就是说,描写粒子状态的一切力学量的统计信息就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 (3)量子力学基本假定 I、 II 量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态 量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程 量子力学还有其他3个基本假定, 待讲… … 这些都是量子力学理论中之最最重要、主要和关键的东西!! §6 Schrodinger方程的一般求解 (一)定态Schrodinger方程 (二)Hamilton算符和能量本征值方程 (三)求解定态问题的步骤 (四)定态的性质 令: 于是: V(r)与t无关时,可以分离变量 代入 等式两边是相互无关的物理量,故应等于与 t, r 无关的常数 线性偏微分方程求解的分离变量法 Schrodinger方程的一般解: 称为定态 薛定谔 方程,ψ(r)也可称为定态波函数,或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 此波函数与时间t的关系是正弦型的,其角频率ω=2πE/h。 空间波函数ψ(r)可由方程 和具体问题的边界条件得出。 E 就是Ψ(r,t)所描写的粒子状态中的粒子能量, 此状态中的粒子能量是确定的, 所以Ψ(r,t)所描写的这种粒子状态称为定态,波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 能量本征值方程 (1)上述

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