量子力学课件-定态方程课件.ppt

几率流密度矢量： 对一维定态问题，J 与 时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ik1x] ψ* = A* exp[-ik1x] 对透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以透射波几率流密度： 反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以反射波几率流密度： 其中负号表示与入 射波方向相反。 则入射波几率流密度 于是透射系数为: 由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。 同理得反射系数： （2）E V0情况 故可令： k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ?]1/2。 这样把前面公式中的 k2 换成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a 即使 E V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。 0 a V(x) x V0 入射波+反射波 透射波 因 k2=[2μ(E-V0)/ ?]1/2，当 E V0 时，k2 是虚数， 隧道效应 （tunnel effect） 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。 （三）讨论 （1）当k3a 1时 故4可略 透射系数则变为： 粗略估计，认为 k1 ≈ k3 （相当于E ≈V0/2）, 则 D0 = 4是一常数。下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。 于是： 例1: 入射粒子为电子。 设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2?， 算得 D ≈ 0.51。 若a=5× 10-8cm = 5 ?， 则 D ≈ 0.024，可见 透射系数迅速减小。 质子与电子质量比 μp/μe ≈ 1840。 对于a = 2 ? 则 D ≈ 2 × 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。 量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的α衰变现象。 例2: 入射粒子换成质子。 （2）任意形状的势垒 则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。 0 a b V(x) E 对每一小方势垒透射系数 可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。 dx （四）应用实例 （1）原子钟 （2）场致发射（冷发射） 除了大家熟悉的α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。 （1）原子钟 原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。 氨分子(NH3)是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个 H 原子 在基底。如图所示： N N’ H H H N N’ E 如果N原子初始在N处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在 N’点。当运动能量小于势垒高度 1. R-S之间或T-U之间的振荡（谐振子）； 如图中能级 E 所示，则N原子的运动由两种形式组成。 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NH3基态， 第二种振荡频率为2.3786× 1010 Hz。这就是原子钟在规定 时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。 （2）场致发射（冷发射） 图 （a） 图 （b） 欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。 但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。 * 波函数的性质 1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就可求出粒子在空间的几率分布，即 ω(r, t) = C 2 |ψ(r, t)|2 = |Cψ(r, t)|2 （1）波函数完全描述粒子的状态 2. 已知 ψ(r,t)， 则任意力学量的可能值的几率，也就是说，描写粒子状态的一切力学量的统计信息就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 （2）波函数标准条件 波函数 在定义域内每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 （3）波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程 §6 Schrodinger方程的一般求解 线性偏微分方程求解的分离变量法 注意：势能 一般是坐标和时间的函数，这时是不能分离变 量法的。但若 只是坐标的函数，这时是可以分离变 量法的。 （定