六次Z3旋转不变哈密尔顿系统极限环分支剖析.docx

六次Z3旋转不变哈密尔顿系统极限环分支摘要六阶Z3旋转不变五次哈密尔顿扰动向量场已经研究过了，通过运用微分方程定性分析和大量的计算，得出在哈密尔顿多项式系统附近拥有六个双同宿环且他们的稳定性已经被研究。用分支的方法发现上面的系统至少有30个（32个）极限环且他们的分布在合适的情况下给出。这个结果有助于研究削弱的希尔伯特第十六个问题。关键字双同宿环分支庞加莱定理稳定性极限环说明和主要结论自从1900年在巴黎举行的第二个国际数学家大会上希尔伯[1]特提出第十六个开放问题以来，许多关于平面多项式微分系统的数量和分步问题已经被研究。希尔伯特第十六问题第二部分太难，甚至二次多项式系统都没有完全解决。但是许多方法和技术已经被提出来研究这个问题并且在过去的几十年已经得到许多优秀的结果[2,3,4,5,6]。Z最近，分支的方法被用来研究多项式系统的极限环且数学家在特殊的情况下考虑这个问题。例如，Arnold[7]在1977年考虑削弱的希尔伯特第十六个问题。在哈密尔顿多项式系统附近是一个如下形式的多项式系统：（1）其中，是多项式，变量是小参数，是一个m维的向量参数，当时，系统（1）是一个哈密尔顿系统，其中叫做哈密尔顿函数。哈密尔顿系统附近的分支和极限环被许多研究者集中的研究[5,8,9,11,12,13,24]。在[9]中，发现扰动下的Z4（或Z2）旋转不变五次哈密尔顿系统有17个（或23个）极限环。Zq旋转不变五次平面向量场在Zq扰动下的极限环在[9,10,12,13,24]中被考虑。最近，在[14]中，一个五次Z2旋转不变哈密尔顿系统在六阶多项式扰动下被研究且31个（或）35个极限环及其分布被得到，在[17]中，一个Z2旋转不变哈密尔顿系统在七阶多项式扰动下被研究且50个极限环及其分布被得到。在[16]中，一个Z12旋转不变哈密尔顿系统在十一阶多项式扰动下被研究且121个极限环及其分布被得到。在[18]中，一个Z6旋转不变哈密尔顿系统在七阶多项式扰动下被研究且37个极限环及其分布被得到。在我的文章中，考虑下面的退化的哈密尔顿系统：（2）其中，是很小的正数，六阶多项式系统在下是关于原点旋转不变的。根据[19,20],我们知道有下面形式：很容易检验系统（2）是Z3旋转不变的，根据[20]得到下面备注：备注1系统（2）是哈密尔顿系统，当且仅当（3）下面两个定理给出主要结论。定理1.1存在函数（4）因此，对固定的且足够小，那么下面两个结论成立：如果那么系统（2）有30个极限环，它们的相图在图1（a）中给出。如果那么系统（2）有30个极限环，它们的相图在图1（b）中给出。（a）情况1 （b）情况2图1 系统2中39个极限环的相图定理1.2 存在（4）中给出的函数，并且（5）因此，对固定的且足够小，那么下面结论成立：（1）如果那么系统（2）有32个极限环，它们的相图在图2（a）中给出。（2）如果那么系统（2）有32个极限环，它们的相图在图2（b）中给出。（3）如果那么系统（2）有32个极限环，它们的相图在图3（a）中给出。（2）如果那么系统（2）有32个极限环，它们的相图在图3（b）中给出。图2（a）图2（b）图2 系统（2）32个极限环的相图图3（a）图3（b）图3 系统（2）32个极限环的相图文章安排如下，第二部分展示非扰系统（2）的全局相图。第三部分计算决定焦点稳定性的发散量和特殊闭轨的Melnikov函数。在第四部分系统（2）的六个双同宿环的存在情况和决定这些同宿环的稳定性的数量被给出。第五部分给出主要结果的证明。最后得出结论。2系统的全局相图当，系统（2）是哈密尔顿系统，其哈密尔顿函数：（6）根据[19,20],容易检验非扰系统是旋转不变的，也就是说它的相图绕原点旋转是不变的。通过直接的大量计算，我们知道非扰系统有25个奇点：中心和鞍点并在图4中给出。特别的，点的坐标如下：和从（6），我们有其中，被定义的曲线级分成下面的两类：（1）围绕六个中心。（2）这六个闭轨族和围绕中心（3）围绕六个鞍点和异宿环其中定义和之间从到的鞍连接；（4）这两族闭轨和围绕鞍点（或围绕这所有的25个奇点）；（5）闭轨围绕鞍点（或围绕这所有的25个奇点）；（6）这三族闭轨和围绕中心围绕中心和围绕这所有的25个奇点；（7）构成六个鞍点和异宿环其中，定义和之间从到的鞍连接；是一个围绕所有奇点的闭轨；（8）这七个闭曲线族和围绕中心点且围绕所有25个奇点；（9）其中，围绕所有25个奇点；（10）其中闭曲线族围绕所有25个奇点。从上面的分析，我们得到非扰系统的相图如图4：图4 非扰系统的相图3Melnikov函数和焦点数量的计算当时，系统极限环的数量保持。定义为系