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定理1：只有无息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 定理2：附息债券的Macaulay久期小于它们的到期时间。 定理4：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。 马考勒久期与债券价格的关系 假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci (1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收益率 的关系为：  债券价格的变动比例等于马考勒久期乘上到期收益率微小变动量的相反数 修正久期 当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期 (Modified Duration，用D*表示) 来代替马考勒久期。 修正久期的定义： 修正的久期公式： 利用久期度量风险 例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8％且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？ 久期/价格关系Duration/Price Relationship 久期也可以定义为债券价格相对于市场利率变动百分比的弹性。 不同债券价格对市场利率变动的敏感性不一样。债券久期是衡量这种敏感性最重要和最主要的标准。 久期等于利率变动一个单位所引起的价格变动。如市场利率变动1％，债券的价格变动3，则久期是3。 　 久期的缺陷 久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。 所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。 用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理的 五、凸度(Convexity) 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。 从数学上给予解释 泰勒展开与凸性 凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。 图5-5. 价格敏感度与凸度的关系 用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系 不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系 图5-5说明的问题： 当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。 这说明： (1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整； (2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。 凸性与久期 考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系： 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为 ： 久期与凸性的关系 凸性表示了债券价格与收益率之间的非线性的反向关系，而久期则反映债券价格与收益率之间的近似线性关系，当然这种近似等式是有局限的，不可能达到完全的相等。 只有在收益率变化较小时，误差较小，久期能较好地反映价格的变化趋势；而当收益率变化显著时，误差增大，会影响到久期结果的有效性。 不同债券的凸性程度也会影响到久期结果应用的有效性。 免疫 久期免疫： 免疫技术：由雷丁顿 (Readington, 1952) 首先提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资产免受利率波动影响的策略。 两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险， 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。 久期免疫的进化 久期免疫的缺陷： 久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或损失。 改进方法： 由于凸度是二阶估计，考虑凸度可以提高利用久期得到的结果 ，尤其是在利率变化很大时，凸度可以修正通过久期得到关于债券价格变化的估计 债券组合免疫 2004年初，经测算某养老金负债的久期为7年，该基金投资两种债券，其久期分别为3年和11年，那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受2004年利率风险变化的影响？ 问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，该公司要不要对投资权重进行调整？ 由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。 问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？ 债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的免疫功能和进出市场导致的交易成本之间寻求一个折