异面直线所成角视导.ppt

2.1.2 异面直线所成角 1、空间中两条直线位置关系 相交直线: 平行直线: 共面直线 异面直线: 不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且 只有一个公共点； 同一平面内，没有 公共点； 复习回顾： 2、平行公理4：________________________________ 3、等角定理：__________________________ ___________________________ 平行于同一条直线的两直线互相平行 空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 复习回顾： a α 4、异面直线所成角的定义： 1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分 别引直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 b a1 b1 O b a α O θ 知识梳理 思考1： 直线a1和b1所成角的大小与点O的位置有关吗？。 1. 定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 思考2：异面直线所成角的范围是什么？ 知识梳理 特例：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 相交垂直（有垂足） 垂直 异面垂直（无垂足） O α α O 异面直线所成角的范围是（0， ] 知识梳理 思考3：如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？ 思考4：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求： （1）A1B与CC1所成的角； D 1 A B C D A B C 1 1 1 ∵B1B // CC1 ∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角 在△A1BB1中，A1B1=BB1； ∴ ∠A1BB1=45o ∴A1B与CC1所成的角为45o --------找 --------证 --------算 --------答 巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求： （1）A1B与CC1所成的角； （2） A1B1与C1C所成的角； （3）A1C1与BC所成的角； （4）A1C1与D1C所成的角。 A B C D A B C D 1 1 1 1 求异面直线所成的角一般要有四个步骤： 简记为“作（找）——证——算——答” （1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等； （2）证明：证明所给图形是符合题设要求的； （3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。 （4）结论。 解：连接A1B，BC1，A1C1 ∵A1B // EF，BC1 // GH ∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角 在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1 ∴∠A1B C1=60° ∴异面直线EF与GH所成的角等于60° 变式如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ） A.45° B.60° C.90° D.120° 步骤 “作（找）——证——算——答” A B C D A B C D 1 1 1 1 E G F H 例2、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR= ，AC=BD=2，求AC与BD所成的角. D A B C R P 方法整理： （在平面上适当的平移） 异面直线平移成相交直线 2、异面直线所成角的解题思路： 由两相交直线构造一个平面图形（三角形） 求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ 体现了立几的“降维思想” 1、解立体几何计算题的“三步曲”： 作 证 算 练习：如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_____ A B C D A B C D 1 1 1 1 E F G 课堂小结： 1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。 2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四步骤