分支限界法-批处理调度问题.docx

【分支限界法】批处理作业调度问题? ??问题描述? ? ?给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。? ? ?批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。? ? ??例：设n=3，考虑以下实例：? ? ?这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。??? ?限界函数? ???批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。? ? ?? ? ?在作业调度问相应的排列空间树中，每一个节点E都对应于一个已安排的作业集。以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可表示为：? ? ?设|M|=r，且L是以节点E为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为{pk,k=1,2,……n}，其中pk是第k个安排的作业。如果从节点E到叶节点L的路上，每一个作业pk在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，即从pr+1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点L有：注：(n-k+1)t1pk,因为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上t1pk。? ? ?如果不能做到上面这一点，则s1只会增加，从而有：。? ? ?类似地，如果从节点E开始到节点L的路上，从作业pr+1开始，机器2没有空闲时间，则：? ? ?同理可知，s2是的下界。由此得到在节点E处相应子树中叶节点完成时间和的下界是：? ? ?注意到如果选择Pk，使t1pk在k=r+1时依非减序排列，S1则取得极小值。同理如果选择Pk使t2pk依非减序排列，则S2取得极小值。?? ? ?这可以作为优先队列式分支限界法中的限界函数。?? ? ?算法描述? ? ??算法中用最小堆表示活节点优先队列。最小堆中元素类型是MinHeapNode。每一个MinHeapNode类型的节点包含域x,用来表示节点所相应的作业调度。s表示该作业已安排的作业时x[1:s]。f1表示当前已安排的作业在机器1上的最后完成时间；f2表示当前已安排作业在机器2上的完成时间；sf2表示当前已安排的作业在机器2上的完成时间和；bb表示当前完成时间和下界。二维数组M表示所给的n个作业在机器1和机器2所需的处理时间。在类Flowshop中用二维数组b存储排好序的作业处理时间。数组a表示数组M和b的对应关系。算法Sort实现对各作业在机器1和2上所需时间排序。函数Bound用于计算完成时间和下界。? ? ?函数BBFlow中while循环完成对排列树内部结点的有序扩展。在while循环体内算法依次从活结点优先队列中取出具有最小bb值（完成时间和下界）的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。算法将当前扩展节点E分两种情形处理：　1)首先考虑E.s=n的情形，当前扩展结点E是排列树中的叶结点。E.sf2是相应于该叶结点的完成时间和。当E.sf2 bestc时更新当前最优值bestc和相应的当前最优解bestx。?? ? 2)当E.sn时，算法依次产生当前扩展结点E的所有儿子结点。对于当前扩展结点的每一个儿子结点node，计算出其相应的完成时间和的下界bb。当bb bestc时，将该儿子结点插入到活结点优先队列中。而当bb bestc时，可将结点node舍去。?? ? 算法具体实现如下：#include?iostream????templateclass?Type??class?Graph;????templateclass?T???class?MinHeap???{???????templateclass?Type??????friend?class?Graph;??????public:???????????MinHeap(int?maxheapsize?=?10);???????????~MinHeap(){delete?[]heap;}?????????????int?Size()?const{return?currentsize;}???????????T?Max(){if(currentsize)?return?heap[1];}?????????????MinHeapT?Insert(const?T?x);???????????MinHeapT?DeleteMin(T?x);?????????????voi