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动态规划 树形 动规与优化方法 聚会的快乐 你要组织一个由你公司的人参加的聚会。你希望聚会非常愉快，尽可能多地找些有趣的热闹。但是劝你不要同时邀请某个人和他的上司，因为这可能带来争吵。给定N个人(姓名，他幽默的系数，以及他上司的名字)，编程找到能使幽默系数和最大的若干个人。 【输入】 第一行一个整数N(N100)。接下来有N行，每一行描述一个人的信息，信息之间用空格隔开。姓名是长度不超过20的字符 串，幽默系数是在0到100之间的整数。 【输出】 所邀请的人最大的幽默系数和。 【样例】 party.in party.out 5 8 BART 1 HOMER HOMER 2 MONTGOMERY MONTGOMERY 1 NOBODY LISA 3 HOMER SMITHERS 4 MONTGOMERY 分析 首先，很显然公司的人员关系构成了一棵树。设f[a]为a参加会议的情况下，以他为根的子树取得的最大幽默值；g[a]为a不参加会议的情况下，以他为根的子树取得的最大幽默值。那么，状态转移方程就是： f[a]=g[b1]+g[b2]+…+g[bk]+1 g[a]=max(f[b1], g[b1])+max(f[b2], g[b2])+…+max(f[bk], g[bk]) 其中b1, b2, …, bk为a的子结点。 最后的答案就是max(f[root], g[root])，root是树根。 三色二叉树（tro） 见文本 树形动态规划(皇宫看守) 太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状；某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。编程任务：帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。 数据输入：输入数据由文件名为INPUT.TXT的文本文件提供。输入文件中数据表示一棵树，描述如下： 第1行 n，表示树中结点的数目。 第2行至第n+1行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号i（0i=n），在该宫殿安置侍卫所需的经费k，该边的儿子数m，接下来m个数，分别是这个节点的m个儿子的标号r1，r2，...，rm。 　　对于一个n（0 n = 1500）个结点的树，结点标号在1到n之间，且标号不重复。数据输出：输出到OUTPUT.TXT文件中。输出文件仅包含一个数，为所求的最少的经费。 输入数据示例 　　　 　 输出数据示例 25 问题分析 求给定的带权树的符合下面条件的子顶点集合V： 　1． 若点i∈V，则所有与i相邻的点j可被标号。　2． 任意一个点j，若j不属于V，则j可被标号。　3． S=∑（Weight[i]，i∈V），并且S最小。 考虑到树本身的特性：除了根节点外，每一个节点都仅与该节点的父节点与儿子节点有关系；大多数情况下，每个节点的状况都是由它的儿子节点的状况决定的。这与动态规划的无后效性要求相符，再加上本题求的又是最优方案，这一切都与动态规划算法不谋而合。 要求覆盖以节点i为顶点的树的最佳方案Vi，显然只需考虑节点i属于或不属于集合V两种情况，两者择优即可。即Vi=min{Vi1，Vi2}（1表示属于，2表示不属于）　 　　 (一）若i∈V，则对于i的任一儿子j，也只有属于或不属于集合V两种情况： （1）若j∈V，则问题转化到求Vj1的小一级规模问题，转化成功； (2) 若j不属于V，则要不求Vj2，要不就是j不能被j的任意一个儿子标号，则求所有Vk（k为j的儿子），Vi1求好了。 （二）若i不属于V，i一定要能被i的某个儿子j标号，这时求所有Vj（j为i的儿子）。若所有的j都是j被j的儿子标号时最“省”（即所有Vj= Vj2），那么实际上按这样的方案没有一个j∈V,造成了i不能被标号。 这时只要找一个牺牲最小的i的儿子j，把方案Vj2换成Vj1。这样就求出了覆盖以节点i为顶点且不包括节点i的最佳节点集Vi2。 状态转移方程 通过上面的分析，我们很容易得到下面这组状态转移方程：　F(i)=min{F(i,1),F(i,2)}　F(i,1)=Weight(i)+∑min{F(j),∑min{F(k,1),F(k,2)}} 　F(i,2)=∑F(j)；若所有F(j)F(j,1)，则换取代价最小的F(j,2)　　　　（以上j为i儿子，k为j儿子） 边界条件　　　　F(i)