概率论与数理统计A9.ppt

“回归” 一词的历史渊源 “回归”一词最早由Francis Galton引入。 十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究发现： 其中x表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高（单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。这表明子代的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其它分支中。 §9.1回归分析的基本概念 例1 合金的强度y (×107Pa) 与合金中碳的含量x (%) 有关。为研究两个变量间的关系。首先是收集数据，我们把收集到的数据记为(xi,yi),i=1,2,?,n。本例中，我们收集到12组数据，列于表1中 表1 合金钢强度y与碳含量x的数据 为找出两个量间存在的回归函数的形式，可以画一张图：把每一对数(xi,yi)看成直角坐标系中的一个点，在图上画出n个点，称这张图为散点图，见右图。 从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以表示为 这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定 在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误差服从正态分布，即 显然假定（2）比假定（1）强 由于 ?0, ?1均未知，需要我们从收集到的数据(xi,yi)，i=1,2,…,n，出发进行估计。在收集数据时，我们一般要求观察独立地进行， 即假定y1, y2,?, yn,相互独立。综合上述诸项假定，我们可以给出最简单、常用的一元线性回归的数学模型： 4 回归方程的显著性检验 在使用回归方程作进一步的分析以前，首先应对回归方程是否有意义进行判断。 如果?1=0，那么不管x如何变化，E(y)不随x的变化作线性变化，那么这时求得的一元线性回归方程就没有意义，称回归方程不显著。如果?1?0，E(y)随x的变化作线性变化，称回归方程是显著的。 综上，对回归方程是否有意义作判断就是要作如下的显著性检验：H0：?1=0 vs H1： ?1?0 拒绝H0表示回归方程是显著的。 4.非线性化 ， ， ， ， S型曲线 6 倒指数函数 5 对数函数 4 指数函数 3 幂函数 2 双曲函数 1 变换后的线性式 变换 曲线 配曲线的一般方法是： 例9.3.1 一只红铃虫的产卵数Y和温度x有关.经观测获得一组红铃虫产卵数与温度的数据如下表所示.试求Y关于x的回归方程. 325 115 66 24 21 11 7 产卵数y 35 32 29 27 25 23 21 温度x/℃ 7 6 5 4 3 2 1 编号 解 1.根据这组数据画出散点图. 2.选择模型 作变换 于是得到 3.线性化 5.7838 4.7449 4.1897 3.1781 3.0445 2.3979 1.9459 35 32 29 27 25 23 21 x 7 6 5 4 3 2 1 编号 根据这些数据可算得 与 的最小二乘估计.经计算 于是得U关于x的回归方程 化为Y关于x的回归方程为 * §9.1 回归分析的概念 §9.2 一元线性回归 §9.3 可线性化的一元非线性回归 §9.4 单因素试验方差分析 回归分析及方差分析 Ch9 变量之间的关系 确定性关系 非确定性关系(相关关系) 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 (correlation analysis)或回归分析(regression analysis) 来完成的。 对于相关关系，虽然不能求出变量之间精确的函数关系式， 但是通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在一定的 统计规律性。 回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 分为：一元线性回归、多元线性回归、可线性化的非线性归 （双曲线、指数、对数、二次、幂函数等） 基本方法 考察随机变量Y与普通变量x之间的相关关系. 例1.在农业生产中小麦的亩产量Y与所施肥料量x有一定关系， 在一定范围内，若施肥量大，亩产也较高。 问题： Y是怎样依赖施肥料量x的变化的。 问题的特征： x是普通变量, Y是随机变量. 处理方法： 按数理统计处理问题的方法。 (1) 先进行一些试验， 分别取不同的值 Y也得到 个相应观察值 得到n对数据对，称为样本数据点 (2) 散点图 Y x o · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3) 寻找Y与x的数量关系： 其中 一般地， ，