同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分.doc

第二篇 一元函数微积分 第二章 导数与微分 微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用． 第1节 导数的概念 1.1 导数概念的引入 1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题 现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程与运动时间的函数关系式记为，求在时刻时质点的瞬时速度为多少？ 整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻改变到时刻，在时间增量内，质点经过的路程为，在时间内的平均速度为 ， 当时间增量越小时，平均速度越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，的极限就是质点在时刻时的瞬时速度，即 ． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题 已知曲线，求曲线上点处的切线斜率． 欲求曲线上点的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限． 图2-1 如图2-1所示，取曲线上另外一点，则割线的斜率为 ． 当点沿曲线趋于时，即当时，的极限位置就是曲线在点的切线，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为 ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数． 1.2 导数的概念 1.2.1 函数在一点处的导数 定义1 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处取得增量，且时，函数取得相应的增量，如果极限 存在，那么称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数，记作，即 ． 注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式 ； ． （2）若极限不存在，则称函数在点不可导．特别地，若，也可称函数在点的导数为无穷大，此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线． 例1 设，求． 解 根据导数的等价定义，可得 ． 例2 设，求下列极限： （1）； （2）． 解 （1）． （2） ． 1.2.2 单侧导数 导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义． 定义2 （1）设函数在点的某左邻域内有定义，当自变量在点左侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的左导数，记为，即 ． （2）设函数在点的某右邻域内有定义，当自变量在点右侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的右导数，记为，即 ． 由极限存在的充要条件可得函数在点可导的充要条件如下： 定理1 函数在点可导和存在且相等． 例3 研究函数在点的可导性． 解 因为，所以 ， ， 从而，因此在点不可导． 1.2.3 导函数 定义3 （1）若函数在区间内每一点均可导，则称在区间内可导； （2）若函数在区间内可导，在区间左端点的右导数和区间右端点的左导数均存在，则称在闭区间上可导． 定义4 若函数在区间（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的，都对应着一个导数值，其是自变量的新函数，则称为在区间上的导函数，记作，即 或． 注：（1）在导函数的定义式中，虽然可以取区间上的任意值，但在求极限的过程中，是常数，和是变量． （2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即． 下面利用导数的定义求一些简单函数的导数． 例4 求常值函数（为常数）的导数． 解 ． 即得常值函数的导数公式： ． 例5求正弦函数的导数． 解 ． 即得正弦函数的导数公式： ． 类似可得余弦函数的导数公式： ． 例6求指数函数的导数． 解 ． 由于当时，，所以 ． 即得指数函数的导数公式： ． 特别地， ． 例7 求对数函数的导数． 解 ． 即得对数函数的导数公式： ． 特别地， ． 例8 求幂函数的导数． 解 ， 因为当时，，从而，故 ． 即得幂函数的导数公式： ． 1.3 导数的几何意义 函数在点可导时，导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率（图2-1）． 由此可得，曲线在处的切线方程为 ． 若，可得切线的倾斜角为或，此时切线方程为． 当时，曲线在处的法线方程为 ． 若，则法线方程为． 例9 求函数在点处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程． 解 根据导数的几何意义，函数在点处的切线的斜率为 ． 从而所求的切线方程为 ， 即 ． 所求法线的斜率为 ， 从而所求的法线的方程为