同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.doc

导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 会求分段函数的导数。 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动( 时刻t质点的坐标为s( s是t的函数( s?f(t)( 求动点在时刻t0的速度( 考虑比值 ( ? 这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度( 如果时间间隔选较短( 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度( 但这样做是不精确的( 更确地应当这样( 令t ?t0(0( 取比值的极限( 如果这个极限存在( 设为v ( 即 ( 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度( 2．切线问题 设有曲线C及C上的一点M( 在点M外另取C上一点N( 作割线MN( 当点N沿曲线C趋于点M时( 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT( 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线( 设曲线C就是函数y?f(x)的图形( 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0?f(x0))处的切线( 只要定出切线的斜率就行了( 为此( 在点M外另取C上一点N(x, y)( 于是割线MN的斜率为 ( 其中?为割线MN的倾角( 当点N沿曲线C趋于点M时( x(x0( 如果当x( 0时( 上式的极限存在( 设为k ( 即 存在( 则此极限k 是割线斜率的极限( 也就是切线的斜率( 这里k?tan ?(?其中?是切线MT( 于是( 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线( 二、导数的定义 1( 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出( 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限( ( 令?x?x?x0( 则?y?f(x0??x)?f(x0)? f(x)?f(x0)( x(x0相当于?x (0( 于是 成为 或( 定义 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义( 当自变量x在x0处取得增量?x(点x0??x仍在该邻域内)时( 相应地函数y取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)( 如果?y与?x之比当?x(0时的极限存在( 则称函数y?f(x)在点x0处可导( 并称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数( 记为( 即 ( 也可记为( 或( 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在( 导数的定义式也可取不同的形式( 常见的有 ( ( 在实际中( 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题( 在数学上就是所谓函数的变化率问题( 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述( 如果极限不存在( 就说函数y?f(x)在点x0处不可导( 如果不可导的原因是由于( 也往往说函数y?f(x)x0处的导数为无穷大( 如果函数y?f(x)在开区间I内的每点处都可导( 就称函数f(x)在开区间I内可导( 这时( 对于任一x (I( 都对应着f(x)的一个确定的导数值( 这样就构成了一个新的函数( 这个函数叫做原来函数y?f(x)的导函数( 记作 (( ( 或( 导函数的定义式( ?( f ((x0)与f ((x)之间的关系( 函数f(x)在点x0处的导数f ((x)就是导函数f ((x)在点x?x0处的函数值( 即 ( 导函数f ((x)简称导数( 而f ((x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ((x)在x0处的值( 左右导数( 所列极限存在(