同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章中值定理与导数的应用.doc

第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3( 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义( 并且在x0处可导( 如果对任意x(U(x0)( 有 f(x)(f(x0) (或f(x)(f(x0))( 那么f ((x0)(0( 罗尔定理 如果函数y(f(x)在闭区间[a, b]上连续( 在开区间(a, b)内可导( 且有f(a)(f(b)( 那么在(a, b)内至少在一点? ( 使得f ((?)(0( 简要证明( (1)如果f(x)是常函数( 则f ((x)(0( 定理的结论显然成立( (2)如果f(x)不是常函数( 则f(x)在(a( b)内至少有一个最大值点或最小值点( 不妨设有一最大值点?((a( b)( 于是 ( ( 所以f ((x)=0. 罗尔定理的几何意义( 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a( b]上连续( 在开区间(a( b)内可导( 那么在(a( b)内至少有一点?(a?b)( 使得等式 f(b)(f(a)(f ((?)(b(a) 成立( 拉格朗日中值定理的几何意义( f ((?)?? 定理的证明( 引进辅函数 令??(x)(f(x)(f(a)((x(a)( 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件( ?(a)(?(b)(0( ?(x)在闭区间[a( b] 上连续在开区间(a( b)内可导( 且 ??((x)(f ((x)(( 根据罗尔定理( 可知在开区间(a( b)内至少有一点?( 使? ((?)(0( 即 f ((?)((0( 由此得 ( f ((?) ( 即 f(b)(f(a)(f ((?)(b(a)( 定理证毕( f(b)(f(a)(f ((?)(b(a)叫做拉格朗日中值公式( 这个公式对于ba也成立( 拉格朗日中值公式的其它形式( 设x 为区间[a( b]内一点( x(?x 为这区间内的另一点(?x0或?x0)( 则在[x( x(?x ] (?x0)或[x(?x( x ] (?x0)应用拉格朗日中值公式( 得 f(x(?x)(f(x)(f ((x((?x)?x (0(1)( 如果记f(x)为y( 则上式又可写为 ?y(f ((x((?x)?x (0(1)( 试与微分d y(f ((x)?x 比较( d y (f ((x)?x是函数增量?y 的近似表达式( 而 f ((x((?x)?x是函数增量?y 的精确表达式( 作为拉格朗日中值定理的应用( 我们证明如下定理( 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零( 那么f(x)在区间I上是一个常数( 证 在区间I上任取两点x1( x2(x1x2)( 应用拉格朗日中值定理( 就得 f(x2)(f(x1)(f ((?)(x2 ( x1) (x1? x2)( 由假定( f ((?)(0( 所以f(x2)(f(x1)(0( 即 f(x2)(f(x1)( 因为x1( x2是I上任意两点( 所以上面的等式表明( f(x)在I上的函数值总是相等的( 这就是说( f(x)在区间I上是一个常数( 例2( 证明当x?0时( ( 证 设f(x)(ln(1(x)( 显然f(x)在区间[0( x]上满足拉格朗日中值定理的条件( 根据定理( 就有 f(x)(f(0)(f ((?)(x(0)( 0?x。 f(0)(0( ( 因此上式即为 ( 又由0???x( 有 ( 三、柯西中