微分中值定理的应用.docx

微分中值定理的应用前 言微分中值定理在数学中有着很重要的作用,我们可以用它来做很多数学中的计算和证明,在本文中我们将介绍各种中值定理和它的证明方法,以及这些定理在数学计算和证明中的使用方法,怎样用这些定理来解决数学问题,以及什么情况下会使用哪种定理等等微分中值定理1.1罗尔定理定理:设在连续,在可导,且,则至少存在一点,使得.证明：因为在闭区间上连续,所以存在最大值与最小值1 当,函数上为常数,结论成立.2 当,又使得最小值和最大值之间至少存在一个在内某点处取得,则是的极值点,又因为在内可导,则在点处可导,所以1.2拉格朗日中值定理定理：设在连续,在可导,则至少存在一点,使得证明：已知在上连续,在开区间内可导,构造辅助函数代入可得.又因为在上连续,在可导,则由罗尔定理可得必有一点,使得,则有变形得推论1 若对内每一点都有，则在区间内为一常数推论2 若两函数及在内成立，则在内(为一常数)1.3柯西中值定理定理：设,在连续,在可导,且,则至少存在一点,使得证明:作辅助函数，则在上满足罗尔定理，故存在,使得又因为,则可以把上式改为1.4泰勒公式若在上有直到阶连续导数，在上有阶导数存在,则对,有其中介于与之间微分中值定理的应用2.1证明方程根的存在性把方程转化为的形式，可以用以下几种方法：若函数在区间上连续，且，则至少存在一点，使.如果函数的原函数在上满足罗尔定理，则在内至少有一个零值点.若函数在上连续，在可导，且的原函数在可导则存在，使得即.若函数在内可导，且有极值，其中,则有.例1 若在上连续，在内可导,证明：在内方程至少存在一个根证明：令显然在上连续，在可导，且 化简有同时 化简有满足罗尔定理，则由罗尔定理有在内至少存在一点使得 即在内，至少存在一点，使得：即在内方程至少存在一个根，得证注：此类题目的核心在于构造出函数的原函数，利用罗尔定理确定的零值点例2 若在连续，，，则在内至少有一零点证明：不妨设,.则故存在，，即同理.故存在，即由在连续，.故在内存在零点例3 函数在上连续,其中证明:(1),使(2),使证明:(1)构造辅助函数把带入有:把带入有:又故易知,使结论得证(2)构造函数把带入有:把带入有:又则有即 则有,使结论得证2.2泰勒公式2.2.1利用一阶导数作近似计算在工作和生活中，我们在测量或计算数据的时候，总会存在一定的误差,使得计算和测量不准确,那我们要怎样计算这个误差呢?这里我们介绍一种利用导数来计算误差也就是近似计算的方法.由于当可微时，有(当时,)式中右边第二项是关于的高阶无穷小.所以当充分小时，我们可略去高阶无穷小，从而得到近似公式 (充分小)例4设，当很小,用上述近似公式时可取于是有,.利用近似公式就有(当很小时)这个公式常用来求开平方的近似值2.2.2用泰勒公式求极限、计算开平方、开立方等的近似值由一阶导数近似计算公式我们可推出二阶近似式为以此类推，我们可知道阶的近似式为误差估计：误差估计就是估计它与准确值的差，误差估计分为绝对误差和相对误差。一般地，若量的近似值为，则∣∣叫做绝对误差；叫做相对误差例5 求极限解 利用泰勒公式,有则 故例6求的近似值解：是函数在处的值令，。由微分中值定理得：则其中所以绝对误差为： 故相对误差为：2.2.3 利用泰勒公式证明不等式当不等式包含初等函数和多项式函数时，我们可以构造一个泰勒辅助函数在不等式证明例7 当时,证明:证明: 构造辅助函数则有故有,,带入泰勒公式有当时,有即结论得证2.3判断函数的单调性和使用其求极值2.3.1利用拉格朗日判断函数的单调性定理:(导数的正负与函数单调性的关系)若函数在连续, 在内可导, 则有:如果在内,则在上单调递增;如果在内, 则在上单调递减. 推论：若在连续,在可导,且不变号则若,则在严格单调递增若,则在严格单调递减2.3.2利用单调性求极值定义：假定在上是连续的,若对于一点,存在的某一邻域,使对于此领域中的任意点都有,则称在有一极大值;同样,如果在的某一邻域中总有,则称在处有一极小值,为极小值点,极大值和极小值都叫做极值.极大值点和极小值点都叫做极值点.极值的必要条件:若是的极值点,那么只可能是的零点或的非可微点极值的判别法:(一)设在和(其中)可导,那么若在内,而在内,则为极小值点;若在内,而在内,则为极大值点;若在这两个区间内不变号,则不是极值点.(二)设为一阶、二阶可导,且,那么(1)若,则是极大值;(2)若,则是极小值.例6 求的极值. 解: 函数的定义域为.,令,即.解得驻点,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.当时,.则是函数的极小值点,极小值为.2.4中值点存在性的应用2.4.1一个中值点的情形2.4.1.1原函数法为了证明中值点的存在性关键是构造辅助函数，构造辅助函数主要是寻找原函数直接法:直接法就是由题目结论的