圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题.doc

圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和． （I）求的取值范围； （II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为， 代入椭圆方程得．整理得　　 ① 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， 解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则， 由方程①，．　　　② 又．　　　　③ 而． 所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分） 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． （Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行； （Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得， 由韦达定理得，， ，点的坐标为． 设抛物线在点处的切线的方程为， 将代入上式得， 直线与抛物线相切， ，． 即． （Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点， ． 由（Ⅰ）知 ． 轴，． 又 ． ，解得． 即存在，使． 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ．由韦达定理得． ，点的坐标为．，， 抛物线在点处的切线的斜率为，． （Ⅱ）假设存在实数，使． 由（Ⅰ）知，则 ， ，，解得． 即存在，使． 练习2.直线 与曲线相交于P、Q 两点。 当 a为何值时，； 是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。 解：（1）联立方程， ，即， 设P、Q两点的坐标为， 所以， 化简得即为所求。 假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O， 二、是否存在这样的点 例2.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。 解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。 解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ，故 ， ， 由 ，得 ，= （Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。 由 （Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6. 设 (ⅰ) 　假设上存在点P，且有成立，则， ，整理得 故 ① 将 ② 于是 , =, ， 代入①解得，，此时 于是=， 即 因此， 当时，， ； 当时，， 。 （ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。 综上，C上存在点使成立，此时的方程为. 例3.（2009福建卷）（本小题满分14分） 已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值； （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由 （I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 （Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0 设则得，从而 即 又，由得 故 又 ，当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。 设直线，则由解得或 练习：1.（2008湖北卷20题）．（本小题满分12分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点． （I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由条件知，，设，． 解法一：（I）设，则，， ，由得 即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又