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——符号检验和分 位数推断 第三章 组织人： 单一样本的推断问题 一、 3.1.1 基本概念 符号检验：如果用符号“+”和“-”区分，符号检验就是通过 符号“+”和“-”的个数来进行统计推断的，故称为符号检验。 假设总体F(x)，Me是总体的中位数，对于假设检验问题： M0是待检验的中位数取值.X1, X2,…… Xn是来自总F(x) 的独立同分布的样本，当XiM0时，记为+，当XiM0时， 记为-.当H0成立时，+和-出现的机会相等，所以+和-出现 的次数S+和S-大略相等。 - 例3.1. 假设某地16座预出售的楼盘均价，单位(百元/平方米)如下表所示： 36 32 31 25 28 36 40 32 41 26 35 35 32 87 33 35 问该地平均楼盘价格是否与媒体公布的3700元/m2的说法相符？ 二、例题讲解 这是用样本推断总体 位置参数的典型问题 确定假设 由抽样分布计算拒绝域或计算p值与显著性比较 检验统计量在零假 设下的抽样分布 做出决策 假定分布结构 解:设楼盘价格服从正太分布N(μ,σ2),可以建立如下零假设和备择假设： 根据自由度，可得t检验的p值为0.89 W表示拒绝域 单样本t检验回顾 R的t检验的程序及运行的结果如下: x=c(36,32,31,25,28,36,40,32,41,26,35,35,32,87,33,35); t.test(x,mu=37,alternative=two.sided,conf.levei=0.95); 假设总 是总体的中位数，对于假设检验问题： 其中，M0是待检验的中位数取值.假设X1,X2,…,Xn,是从总体 中产生的简单样本，定义： , 在零假设情况k~b(n,0.5) 在显著性水平为α的拒绝域为: ? 其中k是满足上式最大的k值 例3.2(例3.1续解) 于是，在显著性水平0.05之下，拒绝零假设，认为这些数 据的中心位置与3700元/m2存在显著性差异。 可计算k=3，拒绝域为： 由公式： x=c(36,32,31,25,28,36,40,32,41,26,35,35,32,87,33,35);m0=37; sg=sum(xm0);sl=sum(xm0);ml=sg+sl;k=min(sg,sl);p=pbinom(k,ml,0,5); binom.test(k,ml); 符号检验的R程序及其运行结果 R程序如下： 运行结果如下： 中位数的单样本符号检验一种针对单一总体的中位数的假 设检验。该过程使用总体中位数 (μ) 等于假设值 (H0: μ=μ0) 的原假设，并针对备择假设进行检验，备择假设可以是左尾 (μ μ 0)、右尾 (μ μ 0) 或双尾 (μ ≠ μ 0) 假设。 单样本符号检验是单样本 t 检验的非参数模拟，因为它不 要求数据来自正态分布的总体，而 t 检验则要求数据来自正态 分布的总体。此外单样本符号检验也不对总体对称作任何假设。 符号检验与t检验的比较 结论：符号检验在总体分布未知的情况下优于t检验！ 3.1.2大样本计算 一、当n较大时，可以使用二项分布的正太近似进行检验 n’=S++S- 二、当n不够大的时候可用Z的正太性修正，如下式： 因此，当n不够大的时候可用下列修正公式进行调整。 双边： ， p-值： 左侧： p-值： 右侧： p-值：