专升本5-1(多元函数微分学).doc

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类） 总体要求 考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。 考试用时：120分钟 考试范围及要求 一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 四 向量代数与空间解析几何 五 多元函数微分学 1. 了解多元函数的概念二元函数的二元函数的极限与连续性 ② 三元函数： ③ 三元或三元以上的函数： （2） 二元函数的几何意义 二元函数的图形是一个曲面，曲面在面上的投影就是定义域。 （3） 二元函数的定义域 一元函数的定义域: 通常可用区间（开区间、闭区间、半开半闭区间，这些区间可为有界也可是无界）或用关于的不等式表示. 二元函数的定义域: 由使函数式有意义的点的全体构成。通常由一条或几条曲线（称为的边界）围成的面上的一部分，可用区域（开区域、闭区域、有界开区域或有界闭区域，无界开区域或无界闭区域）。可用关于、所确定的不等式组表示。 （3） 二元函数的极限 ① 定义 设函数在点的附近有定义（在点处函数可无定义），如果动点沿任意路径趋近于定点时, 总是趋于一个常数，则称为函数当时的极限，记为 或 或． ② 注：ⅰ 定义中是沿任意路径的； ⅱ 若动点以某一种特殊方式（沿某特殊直线或曲线）趋于点时，无限接近，不能得出的结论； ⅲ 当动点以不同方式或不同路径趋于时，趋于不同值，则一定不存在； （4）二元函数的连续性定义在点的某个邻域内有定义，如果当点趋近于点时，函数的极限存在， 且等于它在点处的函数值，即 或 则称函数在点处连续。 定义在点的一个邻域内有定义， 若当自变量、的增量、趋近于零时，对应的函数的全增量 也趋向于零，即 则称函数在点处连续。 2. 理解偏导数的概念了解全微分的概念全微分偏导数在点处对的偏导数、 、 、， ②在点处对的偏导数、、 、， ． ③在任意点处对的偏导数、、 、 ④在任意点处对的偏导数、 、 、． ． （2）全微分定义 ① 定义 如果二元函数在点处的全增量可以表示为 ： 其中、与、无关， 是的高阶无穷小，即 ． 则称 为函数在点处的全微分，记为． ， 这时， 称函数在点处可微。 如果函数在区域内每一点都可微，则称函数在区域内可微。 ② 全微分与偏见导数的关系 如果函数在点处可微，则函数在点处的偏导数存在，而且 ，。 （3）函数的可微性、可偏见导性、连续性的关系 可微 连续 的极限存在。 可微 可偏导。 的偏导存在且连续 可微 可偏导 与 连续 没有关联。 例1考察函数 ，在时的极限是否存在。 在处可偏导，求，． 例2 （成都理工大学2013：理科——选择题3分） 设，则在处有【 】 (A) 在不连续； (B) 在偏导数不存在 (C) 在连续且偏导数存在但不可微； (D) 在可微 二元函数偏导数的 ：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导． ：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导． 、、， 、、 ， 、、 ， 、 、， 4. 掌握复合函数一阶偏导数，， （2） 多元复合函数的中间变量为二元函数 ， ， （3）多元复合函数的中间变量一个为二元函数，一个一元函数 ， ， （4）多元复合函数为抽象函数形式 若函数没有由自变量具体地表示出来，这样的函数称为抽象函数，如 等。 例1 （攀枝花学院：文科——解答题5分） 设，求. 例2 设，求，. 例3 设，求，. 5. 会求二元函数全微分 例 （成都理工大学：文科——选择题4分）设，则【 】 (A) (B) (C) (D) 6. 掌握由方程所确