自动控制原理第4章.ppt

4.1 根轨迹方程 4.2 根轨迹绘制的基本法则 * * 第4章 线性系统根轨迹法 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.1.1 根轨迹的概念 根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从零变到无穷时, 闭环系统特征方程的根(即闭环极点)在 s 平面上运动的轨迹。 图4-1 系统结构图 图4-2 上述系统的根轨迹 4.1.2 根轨迹方程 图4-3 系统结构图 根轨迹方程 幅值方程为： 相角方程为： 法则3：根轨迹对称于实轴；n阶系统有n条根轨迹。 法则4：实轴上的根轨迹段。 对于实轴上零、极点之间的某一区域，其右侧实轴上所有 的开环零、极点个数之和是奇数，则该区域一定是实轴上的 根轨迹段。 图4-4 系统的开环零、极点分布 法则5：根轨迹的渐近线。 当 时，有 条根轨迹趋于无穷远处， 其渐近线由下面两式确定： 渐近线与实轴的夹角： 渐近线与实轴的交点： 4.2.1 绘制根轨迹的基本法则 法则1：开环极点之和与闭环极点之和在 条件下相等。 式中 表示闭环极点， 表示开环极点。 例4-1 已知系统的开环传递函数： 根轨迹与虚轴的交点为 试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益K。 即 法则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远。 例4-2 已知控制系统的开环传递函数为 试确定根轨迹的分支数、起点和终点，实轴上的根轨迹段， 渐近线与实轴的交点及夹角。 图4-5 例4-2题图 法则6：根轨迹的分离点和会合点。 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为 根轨迹的分离点或会合点。 (1) 求解分离点或会合点方法 现假设系统的开环传递函数为： 求解根轨迹的分离点或会合点。 (2) 分离点(或会合点)处根轨迹的切线与正实轴的夹角 其中，l 为相分离的根轨迹分支数。 注意:求解的结果需判断是否在根轨迹上,若不是,应舍去. 分离点的坐标 d 是下列分离方程的解 式中 , zi为各开环零点的数值 ; pj为各开环极点的数值 . 注意 :如果开环系统无有限零点 , 则分离方程 变为 一般用试凑法从上式中求取 d . 法则6* ：根轨迹的分离点和会合点。 法则7：根轨迹与虚轴的交点。 求解根轨迹与虚轴交点的方法： 设与虚轴相交的闭环极点为 , 代入闭环特征方程得： 解方程即可得到 值和 值。 例4-3 在例4-2中，试确定根轨迹的分离点或会合点、分离角以 及其与虚轴的交点，并概略绘制根轨迹图。 图4-6 例4-3图 例4-4 已知系统开环传递函数为 ，试绘制系统的概略根轨迹。 图4-7 例4-4题图