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第八章 非线性控制系统分析 8-3 相平面法 根据极限环邻近相轨迹的特点，可将极限环分成以下三种： ⑴ 稳定的极限环 当 ，如果起始于极限环内部和外部的相轨迹均卷向极限环，则该极限环叫做稳定的极限环。 极限环内部发散至极限环，是稳定区域。极限环外部收敛于极限环，是稳定区域。不论起始点在哪，系统运动最终会回到极限环，表现为自激振荡，而且这种振荡只与系统结构和参数有关，与初始条件无关。 ⑵ 不稳定的极限环 当 时，起始于极限环内部和外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环为不稳定极限环。环内相轨迹收敛于环内的奇点，说明内部是不稳定区域。环外相轨迹发散至无穷远处，说明外部是不稳定区域。 当 时，起始于环内（外）的相轨迹卷向极限环，起始于环外（内）的相轨迹卷离极限环，这种极限环叫半稳定的极限环。 ⑶ 半稳定极限环 6. 非线性系统的相平面分析 常见的非线性特性多数可以用分段线性来近似，对这类系统进行相平面分析的一般方法如下：首先用几条分界线将相平面分为几个线性区域，然后按各段的微分方程画出各区域的相轨迹，最后将各区域的相轨迹连成实的连续曲线，这就是完整的相轨迹曲线。通常把各线性区域的分界线称为开关线或转换线，在开关线上相轨迹发生改变的点为转换点。 在分区绘制相轨迹时，首先要确定奇点的位置和类型，每个区域内部都有一个奇点，如果奇点位于区域内，称这种奇点为实奇点，否则，为虚奇点。在二阶非线性控制系统中，只能有一个实奇点，其余的都为虚奇点。 1、具有死区特性的非线性控制系统 系统初始状态为零，输入为 试绘制偏差 e 的相平面图。 具有死区特性的非线性系统如图： 系统微分方程： 由 ，得 给定参数 则： 区域 I： 奇点 为稳定焦点， 区域 II： 奇点为 ， 相轨迹沿直线收敛； 区域 III ：奇点 为稳定焦点， T=1, K=4, e0=M0=0.2，若系统开始处于零初始状态，试做出r(t)=R*1(t)时系统的相平面图。 2、具有饱和特性的非线性控制系统 设具有饱和特性的非线性控制系统如图： 解：根据结构图，有： 因此，以 e 为输出列写系统的运动方程： 开关线为 和 两条直线，将 平面分成三个区域。当 时， ，所以 ① 在 区，有： 所以等倾线方程： ②同理 区，有： * 相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部信息。 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。 二阶系统可由下列微分方程来描述： 1. 相平面的基本概念 相平面：将二阶系统的二个变量看作是独立变量，一般是位置量 x 和速度量 ，分别以x, 为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。而x, 就叫做运动系统的相变量。在某一时刻t，x, 对应于相平面上一个点，称为相点，代表了系统在该时刻的一个状态。 相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)= x0,相点从(x0, )开始，随着时间的增加，系统的状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹线叫相轨迹，如图： 相图：对于某一微分方程，不同的初始条件对应着不同的相轨迹，因此相平面上布满了一簇相轨迹，由这一簇相轨迹组成的相平面图，称作相图。 相平面法：用相平面图分析系统的方法为相平面法。 从 中解出x，对x求导得到 ，从x, 中消去中间量 t，就得到 的关系，直接以 t 为参量得参量方程即可。 2. 相轨迹的绘制方法 1）解析法 解析法是从微分方程中找出 和x的关系，从而在相平面上绘制相轨迹，当描述系统的微分方程比较简单时，用解析法比较方