实变函数01.ppt

Lebesgue积分思想简介 微积分基本定理 微积分发展的三个阶段 创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 微积分继续发展的三个方向 外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 复数域上的微积分（复变函数） 微积分的深化和拓展（实变函数） 1.Riemann积分回顾 (1) Riemann积分的定义 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 例：Dirichlet函数不Riemann可积。 （3)Riemann积分的局限性 b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）  例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列 Riemann积分 2.Lebesgue积分思想简介 Lebesgue积分思想 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说： 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想 （参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 《高等理科教学》，2000.1） 3.Lebesgue积分构思产生的问题 (1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； (2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）； (3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）； 第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分 4.集合论中的一些例子 (1) Achilles追龟  (2) Hilbert旅馆问题 Hilbert旅馆问题解答 参考文献 周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis). 北京九章图书 .tw/ 互动出版网 / * * 序言 若f(x)在[a,b]上连续，则 若F `(x) 在[a,b]上连续，则 导数（切线斜率） xi-1 xi 定积分（面积） 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi 其中 其中： xi-1 xi xi-1 xi 其中： xi-1 xi 注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积 xi-1 xi 注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。 上积分 下积分 0 1 a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积； 故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即： 不一定成立。 则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但 不Riemann可积。 xi-1 xi 为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手； (积分与分割、介点集的取法无关) 1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产