三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦.doc

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角平分线和线段的垂直平分线 ??? 知识点讲解: ??? 1. 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ?????? 定理2:到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。   2.角平分线另一种定义:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。   3.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做另一个的逆命题。   4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理,虽然一个命题都有逆命题,但一个定理并不都有逆定理。   5.定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。   ? 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。   6.线段的垂直平分线另一种定义:线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。    例题分析 ?第一阶梯   例1.已知:如图CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且CD、BE相交于O点。 ?    求证:(1)当(1=(2时,OB=OC (2)当OB=OC时,(1=(2 ?   点拨:要证OB=OC,只须证Rt△CEO与Rt△BDO全等,由对顶角相等与(1=(2的条件,即可得证,反之成立。 此例是证明互逆命题。 ?   答案:    证明(1)∵(1=(2,OE⊥AC,OD⊥AB ?    ∴OE=OD(角平分线上的点到角两边距离相等)∴OB=OC ?   在△OEC与△ODB中   ?   ∴△OEC≌△ODB(ASA) ?   (2)∵OE⊥AC,OD⊥AB ∴△OEC≌△ODB(AAS) ????????? ∴(OEC=(ODB ∴OE=OD? ????????? ????????? 在△OEC与△ODB中 ????????   说明:利用角平分性质定理或判定定理时,一定要注意垂直的条件。 ?   例2.写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题,并判断它的真假。 ?   点拨:在判断逆命题时,要明确互余的两角必是锐角,另外在未对一个三角形作出判断之前一般不称“锐角”。 ?   答案:解:逆命题是:有两个角互余的三角形是直角三角形。 ?   说明:在写一个命题的逆命题时,并不是将原命题的题设和结论简单地互换,要注意命题本身的逻辑性。 ? 例3.已知:如图(1=(2,BC⊥AC于C,BD⊥AD于D,连结CD交AB于E .求证:AB垂直平分CD ?   点拨:要证的结论“垂直平分”,实际是(1)AB⊥CD(2)CE=ED把角相等和垂直两个条件写出后,再使用角平分线性质定理,得BC=BD,利用 △CBE与△DBE全等得证。   答案: ??? 证明:∵(1=(2,BC⊥AC,BD⊥AD ∴BC=BD(角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等) ? ??????????????? ∵(1+(3=(2+(4=90° ∴(3=(4(等角的余角相等) 在△CBE与△DBE中 ?????????? ? ∴△CBE≌△DBE(SAS) ? ? ∴CE=DE,(CEB=(DEB ? ? ∵C,E,D三点在同一直线上 ? ? ∴AB⊥CD于E ? ? ∴AB垂直平分CD   说明:用了角平分线性质定理,可代替用全等三角形得到的结论,简化证明过程。 第二阶梯 例1.已知:如图AB=CD,AD=BC,AO=OC, 过点O的任一直线交AB于E,交CD于F 求证:(1)AD//BC(2)(D+(DAB=180°(3)BE=DF ??? 点拨:要证AD//BC,只须证(3=(4,由已知条件,可证得△ADC≌△CBA得到角等线段相等的结论后,再证△EOA与△FOC全等,再做线段和、差 ? 证明:(1)在△ADC与△CBA中 ????????????? ∵AD//BC ????????????? ∴(B+(DAB=180° ????????????? ∵△ADC≌△CBA(SSS) ????????????? ∴(3=(4 ????????????? ∴AD//BC (2)∵△ADC≌△CBA ????????????? ∴(B=(D ? ?????????????? ∴(D+(DAB=180° ????????????? ∵DC=AB?????? CF=AE ????????????? ∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF ????????????? (3)∵△ADC≌△CBA ????????????? ∴(1=(2 ????????????? 在△FOC与△EOA中

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