数学(华东师大)第五章导数和微分.docx

第五章 导数和微分§1 导数的概念一 导数的定义导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的, 但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线 求它的切线.这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz) 分别在研究力学和几何学过程中建立起来的.下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念 .1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 其运动规律为 s =s ( t ).若 t0 为某一 确定的时刻, t 为邻近于t0 的时刻, 则 s( t) - s( t0 )珔v =t -t0是质点在时间段[t0 , t](或[t, t0 ])上的平均速度.若t→t0 时平均速度珔v的极 限存在, 则称极限v = limt→ t0s( t) - s( t0 ) t-t0( 1)为质点在时刻t0 的瞬时速度.以后我们将会发现,在计算诸如物质比热、电流强 度、线密度等问题中,尽管它们的物理背景各不相同,但最终都归结于讨论形如 (1 ) 式的极限.2.切线的斜率 如图5 -1所示,曲线 y = f ( x ) 在其上一点 P( x0 , y0 ) 处的 切线 PT 是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点 P 时的极限位置 .由于割线 PQ的斜率为f (x)-f( x0)k=x -x0,因此当 x→x0 时如果 k 的极限存在, 则极限图 5 - 188第五章 导数和微分即为切线 PT 的斜率 .k = limx → x0f (x) -f (x0) x -x0( 2)上述两个问题中, 前一个是运动学的问题, 后一个是几何学的问题, 但是它 们都可以归结为形如(1 ) 、(2 ) 这种类型的极限 .下面我们给出导数的定义 .定义 1设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某邻域内有定义 , 若极限f (x) -f ( x0)limx → x0x -x0( 3)存在, 则称函数 f 在点 x0 处可导, 并称该极限为函数 f在点 x0 处的导数, 记作f′( x0) .令 x = x0 +Δx ,Δy = f ( x0 +Δx)- f ( x0 ) , 则(3 ) 式可改写为Δylim= limf ( x0 + Δx) -f ( x0)=f′( x0) .(4)Δx→0ΔxΔx→0Δx所以, 导数是函数增量Δy 与自变量增量Δx 之比Δy 的极限 .这个增量比称为函Δx数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数f′( x0 )则为f 在x0 处关于x的变化率 .若(3 ) ( 或(4 ) ) 式极限不存在, 则称 f 在点 x0 处不可导 .例1 求函数 f ( x) = x2 在点 x = 1 处的导数, 并求曲线在点( 1 , 1 ) 处的切 线方程 .解 由定义求得f′(1)= limΔx → 0f (1 + Δx)-f ( x)= limΔx → 0(1 + Δx )2 -1Δx= limΔx → 02Δx + Δx2= lim ( 2 + Δx ) = 2Δx → 0由此知道抛物线 y = x2 在点( 1 , 1) 处的切线斜率为k =f′(1) = 2,所以切线方程为y - 1 = 2( x - 1) 即 y = 2 x - 1.□例 2 证明函数 f ( x ) = | x | 在点 x0 = 0 处不可导.证 因为f ( x) -f(0)x - 0=| x |x=1,x 0,- 1,x 0当x→0时极限不存在,所以f在点x=0处不可导.□例 3 显然常量函数 f ( x) = C 在任何一点 x 的导数都等于零 , 即§1 导数的概念89f′( x) = 0 .下面我们介绍有限增量公式 .设 f ( x) 在点 x0 可导, 那么Δyε=f′( x0 ) -Δx是当Δx→0时的无穷小量,于是ε·Δx= o(Δx),即Δy = f′( x0 )Δ x + o(Δx).(5)我们称(5)式为f(x)在点x0的有限增量公式.注意,此公式对Δx=0仍旧成 立.由公式(5 ) 立即推得如下定理 .定理 5.1 若函数 f 在点 x0 可导 , 则 f 在点 x0 连续 .注 可导仅是函数在该点连续的充分条件, 而不是必要条件 .如例 2 中的函 数 f ( x) = | x | 在点 x = 0 处连续 , 但不可导.例4 证明函数 f ( x) = x2 D( x) 仅在点 x= 0 处可导, 其中 D( x ) 为狄利 克雷函数 .证 当 x0 ≠0 时, 由归结