数学高等数学导数与微分习题有.doc

导数与微分 重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义 难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数 例题: 例1 试确定a、b之值,使函数在内可导,并求 例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在处连续,但在处不可导 设在处可导,求 求下列函数的导数 (１) (２) (３) 设和是可导函数,求函数的导数. 设由方程确定,其中是的可微函数,试求. 已知 设且处处可微,求. 求下列函数的高阶导数 (１) (２) (３) (４) . 设函数满足: 对于任意实数,有 在可导,且. 证明: 可导且 作业题:求平面曲线与的公切线方程. 答案： 例1 试确定a、b之值,使函数 在内可导,并求 解: 欲使在内可导,只需在处连续,可导,由 而在处连续,得 ……………………（1） 　　　 　　　 　　 由在处可导,得 ………………………（2） 联立(1)与(2)解得,.所以当,时,在处可导,且 例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在处连续,但在处不可导 证: 因为,故在处连续,又 故在处可导,也可微.当时, 　　　　 故导函数在处连续,但 　　　 故导函数在处不可导 设在处可导,求 解:　 　　　　 求下列函数的导数 (１) (２) (３) (１) 解:　 　　　　　　 　　　　　　　. 　　　令　 　　　　　　　 　　　故　 (２)　解:　 　　　　　　　 　　　　　　　 (３)　解:　 　　　　　　　　 设和是可导函数,求函数的导数. 解:　　 　　　　　　　 设由方程确定,其中是的可微函数,试求. 解:　对原式左右求导有 　　　　 解得　　　　 已知 解:　　 　　　 设且处处可微,求. 解:　 　　　　　　　　 求下列函数的高阶导数 (１) (２) (３) (４) . (１)　解: 其中为的５次多项式,故 　　　　　　　　　　　 解:　将原函数变形得 　　　　　 　　　　　　 　　　　　　, 故　　 解:　将原函数变形得 　故 解:　将原函数变形得 　　　　　　　 　　　故　 设函数满足: 对于任意实数,有 在可导,且. 证明: 可导且 证:　首先不恒为零,否则有,与题设矛盾.于是至少存在一点,使.这样,由可得. 设为内任一点,则 　　　　 　　　　 即可导且. 作业题:求平面曲线与的公切线方程. 解:　设公切线分别与曲线和相切于点, ,并与轴交于点,见图,因为公切线是曲线在点处切线,故其斜率为 　　　　　　　　　………………………………（1） 其方程为　,即……… (２) 或　　　　,即…… (３) 公切线也是曲线在点处的切线,故其斜率为 　　　　　　　　　…………………………（４） 其方程为　,即…… (５) 或　　　　,即…. (６) 由(２)、(３)可得, 由(５)、(６)可得, 所以　　　 由(１)、(４)、(７)可解得,. 故所求公切线方程为