数与式的运算、因式分解(教师版).doc

数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： 平方差公式 ； 完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 立方和公式 ； 立方差公式 ； 三数和平方公式 ；两数和立方公式 ； 两数差立方公式 【例1】计算： ⑴ ⑵ (4) 答案：（1） （2） （3） (4) 例题的设计意图 (2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。 二、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 三、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【例2】化简 （2） 例题的设计意图 （1）考查根式的性质 （2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快 （1）解法一：因为 又，所以 解法二： 故 解法一：利用到和，先计算原式的平方，然后再开方． 解法一：原式 = 解法二：原式= 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，， 进行化简．． 【公式2】 【公式3】 【公式4】 【公式5】 【例1】把下列各式分解因式： ⑴ ； ⑵ ； ⑶= ； ⑷ ； 【答案】（1） （3） （4） 二、十字相乘法 一般二次三项式型的因式分解。大家知道，．反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 注意： 1、十字相乘法思路： 分解二次三项式，尝试十字相乘法。 分解二次常数项，交叉相乘做加法； 叉乘和是一次项，十字相乘分解它。 2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解 分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试， 【例2】把下列各式分解因式： ⑴_______________ ；⑵___________ ；⑶_______________ ；（4） =_____________ （5）=______________ 【答案】⑴；⑵； ⑶；（4）（5） 【变式】用十字相乘法求下列方程的根 ⑴ ⑵ ⑶ （4） 【答案】（1）（2）（3）（4） 【拓展】双十字相乘法 对于某些二元二次六项式)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式．我们将上式按降幂排列，并把当作常数，于是上式可变形为 可以看作是关于的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 再利用十字相乘法对关于的二次三项式分解所以 原式=上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法具体步骤:分解形如的二次六项式在草稿纸上，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1,2列第2,3列和第,3列都满足十字相乘规则。则____________________________________________； ⑵____________________________________________； ⑶____________________________________________； 【答案】⑴ ⑵ ⑶ 三、求根法 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么多项式可以分解为。 由，比较系数得故就得到韦达定理。 韦达定理：设是关于的一元二次方程的两根，则 【例3】把下列各式分解因式： ⑴_________________；(2) 【答案】⑴； (2) 【例4】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23． 解：x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ，． （1）| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝＋6＝， | x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]