数值-第六章.docx

数值分析第六章2.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组，证明若取，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？解：雅可比迭代法的迭代矩阵：，，故雅可比迭代法收敛。高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵，，故高斯—塞德尔迭代法收敛。因，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。3. 用SOR方法解线性方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1）精确解x=（，1，-）.要求当5×10时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数.解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为：取X（0）=（0,0,0）T：当ω=1.03时，迭代5次达到要求：X（5）=（0.500 004 3,0.100 000 1，-0.499 999）T若取ω=1时，迭代6次得：X（6）=（0.500 003 8,0.100 000 2，-0.499 995）T若取ω=1.1时，迭代6次得：X（6）=（0.500 003 5,0.099 998 9，-0.500 000 3）T第七章2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。(1).，迭代公式；(2).，迭代公式；(3).，迭代公式。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：考虑的领域。(1).当时，，，故迭代在上整体收敛。(2).当时，，，故迭代在上整体收敛。(3).当时，，，故迭代发散。4. 用下列方法求在附近的根.根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解：,对(1)取,用牛顿迭代法计算得,故.(2)取,,利用弦截法得,,故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代结果为:已达四位有效数字.计算机上机首先是两个算法的实现（如下图所示）：图1：Jacobi迭代算法图2：SOR迭代算法n取6时运行结果：图3：Jacobi迭代结果图4：=1时SOR迭代结果图5：=1.25时SOR迭代结果图6：=1.5时SOR迭代结果结果分析：从MATLAB输出的结果可以看出：当n=6时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0)’,用Jacobi迭代法求解该矩阵方程经过m1=487次迭代所得结果x1 =(Inf,Inf,NaN,NaN,NaN,NaN)’,可见用Jacobi迭代法在这种情况下求解该矩阵方程是不收敛的。用SOR方法求解该矩阵方程，当松弛因子w=1时，经过m11=17406次迭代所得结果xx11 =(0.9999，1.0009，0.9981，0.9974，1.0089，0.9947)’,此结果与精确解比较可得，可见此结果已经很接近精确解了；当松弛因子w=1.25时，经过m21=16290次迭代所得结果xx21 =( 1.0000,1.0003,1.0010,0.9922,1.0126,0.9939)’,此结果与精确解比较可得，可见此结果没有w=1所得的解接近精确解，但迭代次数比它少；当松弛因子w=1.5时，经过m31=16769次迭代所得结果xx31 =( 1.0000，0.9995，1.0052，0.9829，1.0216，0.9907)’,此结果与精确解比较可得，可见此结果没有w=1和w=1.25所得的解接近精确解，迭代次数虽然比w=1时少，但比w=1.25多。n取8时运行结果：图7：Jacobi迭代结果图8：=1时SOR迭代结果图9：=1.25时SOR迭代结果图10：=1.5时SOR迭代结果n取10时运行结果：图11：Jacobi迭代结果图12：=1时SOR迭代结果图13：=1.25时SOR迭代结果图14：=1.5时SOR迭代结果结果分析从MATLAB输出的结果可以看出：用Jacobi迭代法求解该矩阵方程时：①当n=8时取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0)’,经过m2=396次迭代所得结果x2 =( -Inf，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN)’；②当n=10时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)’,经过m3=347次迭代所得结果x3 =(Inf，Inf，Inf，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN，NaN)’；对比（1）题中所得结果可见无论n确何值用Jacobi迭代法在这种情况下求解该矩阵方程是不收敛的，其原因为其迭代矩阵 (其中D=diag(diag(H)),L=-tril(H,-1),U=-triu(H,1))的谱半径不满足。用SOR方法求解该矩阵方程：①当n=8时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0)’当松弛因子w=1时，经过m12=8342次迭代所得结果xx12 =(1.0001，0.9974，1.0136，0.9794，0.9982，1.0141，1.0101，0.9870)’,此结果与精确解比较可得；当松弛因子w=