数形结合思想的一些运用.doc

数形结合思想在中学解题中的一些应用 摘要：数形结合思想是应用于数学学习和研究中的一种基本的数学思想，在中学数学的学习中更是屡见不鲜．应用数形结合的思想可以把复杂问题简单化，抽象问题具体化．以形助数，以数辅形，将数学问题更加直观地展现在我们面前，不仅丰富了数学解题方法，也为广大中学生提供了解题新思路．本文将结合具体案例，从借助数轴，图像，复平面三方面，展示数形结合思想在中学数学解题中的一些应用． 关键词：数学思想；数形结合；以形助数；以数辅形 1 引言 纵观多年来的中、高考考题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可收到事半功倍的效果．不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题中优势更明显．因此，在数学教学中，应培养运用“数形结合”的思想引导学生思考[1]．运用“数形结合”的技巧训练学生解题．有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力．注重数形结合思想的教学，不仅能够提高学生学习数学的兴趣，而且能够提高学生数形转化能力和迁移思维能力[2]．新教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用．不仅可以对问题进行正确的分析、比较、合理联想，予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己．本文将借助数轴数形结合思想在函数方程、不等式、、及解析几何中的应用做一个系统的分析 数形结合思想就是要使抽象数学语言与直观的图形语言结合起来，是抽象思维与形象思维结合起来．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．数形结合的思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面．它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题过程的目的．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要[3]． 数形结合的主要特点：数 形 问题解决；或形 数 问题解决[4] 数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系．具体来说就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情况，既要分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决[5]． 3 数形结合思想在解题中的应用 数形结合的思想方法应用十分广泛，主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题[6]．如用数形结合思想解决集合问题、函数问题、三角函数问题、方程问题、复数问题、解析几何问题、线性规划问题，数列问题等[6]．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义． 3.1借助数轴，直观深刻 由于数轴建立了实数与数轴上的点一一对应关系，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义．所以解一些数学问题可以与数轴结合起来，利用数形结合思想，使抽象变直观，繁琐变简单[7]． 例1 求函数的最小值． 分析：如图1，设数轴上表示数－1、2、3、x的点分别为A、B、C、P（P为动点），则表示P到A、B、C三点之间的距离之和，即． 解析：如图容易看出：当p点在AC之间运动时取得最小值，取点P和点B重合，=4，所以． 图1 评析：本题利用数轴巧妙的解决了函数的最值问题，而且形象直观，容易理解。 例2 （2012天津，11），集合, 且，则____,____ 解析：∵ =,又∵，可知,则,画数轴可知，． 图2 评析：在集合中常常借助数轴来处理集合的交，并，补等运算，本题借助数轴，使问题得以简化，使运算快捷明了． 例3 已知，，，试比较的大小． 解析：本题中的具体数值没有确定，但能依据数轴形象地表示它们在数轴上的大致位置．如图3，表示数的点在原点右侧，表示数的点在原点左侧，由绝对值的几何意义知，表示数的点离原点的距离比表示数的点离原点的距离大，从而确定数数在数轴上的大致置．又由表示互为相反数的点分居在原点两侧．且离原点的距离相等的性质找到数轴上表示-，-的点．观察图1，根据数轴上的点表示的数，右边总比左边的大， 知 图3 评析：用数轴上