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原问题与对偶问题的数学模型
1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
情形一：
情形一：
原问题 对偶问题
max z CX min w Yb
AX b s.t. YA C
. .
s t
Y 0
X 0
情形二：
情形二：
原问题 对偶问题
max z CX min w Yb
. A C
s .t AX b s t Y
X 0 Y 0
证明 化为标准对称型
max z CX
s .t AX b
X 0
(Y Y )
对偶 min w Y b
s .t Y A C
Y 0
1
*
x (j 1, ,n)
当线性规划原问题求得最优解 j
*
时，其对偶问题也得到最优解 y i (i 1, , m )
，且代入各自的目标函数后有：
n m
z * cj x * b iy * w * （3 ）
j i
j 1 i 1
bi ——是线性规划原问题约束条件的
i
右端项，它代表第 种资源的拥有量；
影子价格的定义
影子价格的定义
*
y
对偶变量 的意义——代表在资源最优利用条件
i
i
下对单位第 种资源的估价，这种估价不是资源
的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献
而作的估价，为区别起见，称为影子价格
（shadow price) 。
2
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