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向量运算的背景研究 **学院 数学与应用数学 摘要：向量使得数学问题思路清晰明确,运算简单,降低思维转换过程的难度,对于解决数学问题及日常生活中实际问题具有重要的应用价值。向量的教学价值在于不仅使公式证明过程更容易理解和接受,而且会使学生体会到向量的工具性,也体会到知识之间的联系,培养学生的数学的整体性意识。本文从介绍向量的起源开入手，深度剖析向量运算的应用及其价值。 关键词：向量；运算；应用；价值 1 引言 向量思想的萌芽可以追溯到古希腊时期。从16世纪到19世纪,随着对力学问题、位置几何以及复数的几何表示等问题的深入研究,向量思想得到进一步发展并逐渐走向成熟。从向量理论产生的三条线索入手,通过对这个理论发展过程中众多数学物理学家的工作的考察,揭示了向量理论产生与发展的全过程[1]。 向量有着丰富的现实背景和物理背景，而且是刻画位置的重要数学工具,所以在生产实践中有着广泛的应用,在可运动机器人设计与操控、在天气预报中测量风向和风速、卫星定位、飞船设计中都有着广泛的应用。贯穿于物理学的矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等,都是数学中向量的现实原型。例如，力的合成与分解是向量的加减运算,物体受力做功是向量的数乘运算,已知力与力臂求力矩、磁场中通电导体所受的安培力等运算是向量的外积,即叉乘[2]。本文讨论的是基于向量的发展历史，向量运算在多方面应用的研究和其独特价值性。 2 向量的认识 2.1 向量的历史发展 向量最初被应用于物理学,物理量中的力、速度、位移等都是向量。古希腊学者亚里士多德(Aristotle,公元前389—公元前322)已经知道了力可以表示成向量,英国科学家牛顿(Isaac Newton,1642—1727)最先使用有向线段表示向量。 向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学。 19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量。电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具[2]。 在高等数学中空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象。在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的。这样线性代数方法被应用到广阔的自然科学领域中去了。因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用[2]。 2.2 向量的用途 向量这一概念是从物理学中抽象出来的，作为沟通数和形的重要工具，向量是现代数学中的重要概念之一。向量是既有大小又有方向的量，要用两个实数、三个实数甚至更多的实数才能确切地表达，大小反映了数的特征，方向反映了形的特征，因此它是集数形于一身的概念。它能被广泛应用是因为它良好的分析方法、完整结构和运算性质。图形的直观性与代数推理的严密性的结合使它在解决许多研究和生活中产生的问题时能发挥特殊的作用。除了在数学方面的应用，它也在解决物理、生活和科技等方面问题上也发挥了很大的作用，例如在物理上，安培力、右手定则等需要应用向量的叉乘；科技上，机器人的设计，卫星定位等方面的问题都可以通过向量进行处理；向量还可以用于计算坐船时间等生活问题。本文在接下来的论述中会做详细说明。 3 向量运算的应用 3.1 向量运算在物理中的应用 向量是源于物理是从物理学中抽象出来的数学概念，同时向量在物理学中也有的广泛应用[3]。实质上向量概念源于物理中的矢量,物理中的力、位移、速度等都是向量,功是向量的数量积,力矩是向量的向量积,从而使得数学向量与物理学建立了有机的内在联系,物理中具有矢量意义的问题也可以转化为数学向量问题来解决。约公元前350年,古希腊学者就知道了向量可以表示力、两个力的组合可用向量中的平行四边形法则[4]。 例如：刚体以等角速度绕轴旋转，试表示刚上一点的线速度。 解:设点到旋转轴的距离为，再在轴上任取一点作向量，并以表示与 的夹角，那么 。设线速度为 ，那么由物理