2009年新知杯详解.pdf

2009年新知杯上海市初中数学竞赛 参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a (a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值 是 。 13 【答案】4， 2 2、在三角形ABC中， 2 2 ，其中a,b是大于1的整数，则 AB b 1, BC a ,CA 2a b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 解：两个正三角形合成一个小平行四边形，则有46个小平行四边形， 所以这个大平行四边形可以是边长为46，1或23，2， 所以其周长为94或50． 故应填94，50． 4、已知关于x的方程x4 2x3 (3 k )x2 (2 k )x 2k 0 有实根，并且所有实根 的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 B E P C F A 第五题图 5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥ CA，则线段EF长的最小值为 。 2 5 【答案】 5 6、设a，b是方程x2 68x 1 0 的两个根，c，d是方程x2 86x 1 0 的两个根， 则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。 【答案】2772 7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。 1 3 【答案】  k  3 2 8方程xyz=2009的所有整数解有 组。 【答案】72 解：这个2009可以看做是（整数）1×1×2009，1×7×287，7×7×41，1×49 ×41． 其中又有三个未知数一正两负和三正两种情况， 先说xyz在三正的情况下，有三个可能的解集，分别为1×1×2009，1×2009×1， 2009×1×1， 在三未知数一正两负的情况下原本的 x、y、z就会出现3种可能； 如1×1×2009=1×（-1）×（-2009）= （-1）×（-1）×2009= （-1）×1×（-2009）， 所以在一正两负的情况下原本的三个可能的解集就会衍生出9个可能的解集． 那么得出结论，1×1×2009这样的分组共有12个可能的解集， 在7×7×41时，也有类似的12个可能的解集． 但当1×7×287时，因为三个数值均不同，所以和上面两组不同，在三正的情况 下有6个可能的解集，两正一负的情况下又有18个可能的解集． 同理1×49×41也有24个可能的解集． 综上所述，xyz=2009共有72组整数解． 9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交 于E ，则∠AEB= 。 【答案】21°