曲边梯形的面积课件(17张).ppt

* 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 问题提出 1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算. 2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数. 3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题. x y a b y＝f(x) O 探究（一）：三角形面积的算法 思考1：设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？ A B C D 第i个矩形的长为 ， 每个矩形的宽为 . 思考2：这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？ A B C D 思考3：随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限为多少？由此可得什么结论？ 结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限. A B C D 探究（二）：曲边梯形面积的算法 思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？ x y 1 y＝x2 O 直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形.多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段. 思考2：设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？？ 将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作n－1个矩形. x y O y＝x2 1 思考3：上述n－1个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？ x y O y＝x2 1 第i个矩形的高为 ， 每个矩形的宽为 . 思考4：利用公式 计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1等于多少？ x y O y＝x2 1 思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？ x y O y＝x2 1 思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤? 分割→近似代替→求和→取极限. 思考7：若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ y＝x2 x y O 1 思考8：若分别以区间 内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ y＝x2 x y O 1 相等 理论迁移 例 求直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积. x y O 3 3 小结作业 2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限. 1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系. 3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积. 作业： P42 练习. *