曲边梯形的面积与定积分.ppt

* 1.5.1曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。 O x y a b y=f (x) 一. 求曲边梯形的面积 x=a x=b ①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线 因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）． P 放大 再放大 P P y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A1 Ai An —— 以直代曲,无限逼近 x y o 1 1 分析:将区间［0,1］等分为n个小区间: 每个小区间的长度为： 矩形的高：　　　 底： 过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形 他们的面积分别记作； （2） 近似代替 （3）求和 （4）取极限 分割 近似代替 求和 取极限 y = f(x) b a x y O x1 xi-1 xi xn-1 x2 xi f(xi) x1 x2 f(x1) f(x2) f(xi)?xi 在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点． 得n个小区间： [xi?1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)． 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形． 任取xi ?[xi?1，xi ] ，以f (x i) Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． 区间[xi?1 , xi ]的长 度Dxi? xi ?xi?1 ． 曲边梯形的面积近似为：A? 小结 仿照上面方法： t O T1 T2 =t0 t1 ti?1 tn?1 tn= 第i段路程值 第i段某时刻的速度 步骤：分割，近似，求和，取极限 结论 S 当△x?0即n?∞ 时,上述和式无限趋近于某个常数. 这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分 定积分的定义： 相关名称： (2)区间[a, b] 叫做积分区间 (1)a叫积分下限, b叫积分上限 (3)函数f(x)被积函数 (4)x叫做积分变量 (5)f(x)dx叫做被积表达式 1. 与 的差别 是 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 注： 2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 3．规定： 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 定积分的定义： O x y a b y?f (x) x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 思考：定积分的几何意义是什么? 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， x y O =- ． a b y?f (x) =-S 上述曲边梯形面积的负值。 =-S 探究 根据定积分的几何意义, 你能用定积分表示右图中阴 影部分的面积S吗? a b y?f (x) O x y a b y?f (x) O x y