1.3.1函数的最大(小)值与导数.ppt

课下练习：完成《新坐标》和课本上的相关习题 * * 2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的 左侧附近f’(x)0，在a 右侧附近f’(x)0， 那么是f(a)函数f(x)的一个极小值. 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b 的 左侧附近f’(x)0，在b 右侧附近f’(x)0， 那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 f(b) - 0 + (b, …) b (…,b) x f ’(x) f (x) f(a) + 0 - (a, …) a (…,a) x f ’(x) f (x) 注：导数等于零的点不一定是极值点． 一、复习引入: (1)??? 求导函数f `(x)； (2)??? 求解方程f `(x)=0； (3)??? 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤： 1)在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值. x y 0 a b x1 x2 x3 x4 f(a) f(x3) f(b) f(x1) f(x2) 二、新课讲解: o x y a b o x y a b o x y a b o x y a b y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值. 三、例题选讲 例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 解: 令 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, 的变化情况如下表: 13 ↗ 4 ↘ 5 ↗ 4 ↘ 13 y + 0 - 0 + 0 - y’ 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 x 从上表可知,最大值是13,最小值是4. 一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值. 例2:设 , 函数 的最 大值为1,最小值为 ,求常数a,b. 解:令 得x=0或a. 当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: 1-3a/2+b ↗ -a3/2+b ↘ b ↗ -1-3a/2+b f(x) + 0 - 0 + f’(x) 1 (a,1) a (0,a) 0 (-1,0) -1 x 由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b, 故b=1. 又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为 f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以 练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 解: 令 ,解得 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, 故所求最大值是 练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值和最小值. 答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7. 一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数 注： 求函数最值的一般方法： 四、课堂小结 1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个