2.1-2.2群表示理论.pptVIP

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2.1 群的矩阵表示 2.2 舒尔引理 2.3 表示矩阵元的正交性定理 2.4 表示的构造 2.5 基函数的性质 2.6 表示的特征标 2.7 群元空间 2.8 正规表示 2.9 完全性关系 2.10 表示的直积 2.11 直积群的表示 定义:群 G 的矩阵表示,就是一个与群 G 同态的方知阵 群.也就是说,对于群 G 的每一个元 A ,对应着方矩阵群的 一个方矩阵 D(A) ,并且 D(A)D(B) = D(AB) (2.1-l ) 对于群 G 中的每一个 A 及 B 都成立. 若知阵群与群 G 是同构关系,那么这个表示就称作确实表示;若二 者是同态关系,群 G 的元多于矩阵群的元,那么,群 G 的几个元就对应 于一个相同的矩阵,这种表示就称作不确实表示.后面还会看到矩阵群 大于群 G 的同态关系.群 G 的表示记作 DG; , 矩阵的行(或列)数l称 作表示的维数. 由定义可知: ( l ) D ( E ) = I0 , I0是 l×l 的单位矩阵; (2.1-2 ) ( 2 ) D (A-1)=[D(A)]-1. (2.1-3 ) 一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示,简称为 “表示” . 例 在第一章中 3×3 的矩阵群d3群与正三角形 的对称群D3群同构,因此, d3 群的各元就是 D3 群的一个三维的确实表示.即 第一章还给出了六个2×2矩阵组成的群. 该群与d3群 同构,因而也与D3群同构,所以是D3群的一个二维 表示. 由于D3群与C3V群同构,而当用坐标变换来表示 C3V群的操作时,就得到了D3群的一个三维表 示,即: D3 群的一个一维表示是要提出的,那就是由仅有一个元的 矩阵形成的表示,即 D(E)=D(A)=D(B)=…=(1) 这个表示称作恒等表示(平庸、单位、显然表示).任何一 个群都有这么一个恒等表示. 可见,任意一个群,都有无限多个表示,这些表示都 可由若干个基本的表示形成,而每一个群的基本表示的个数却 往往是有限的. 等价表示与幺正表示 (1)等价表示 相似变换 有一个l维的方矩阵 M ,若用一个非奇异的 l×l 矩 阵 S 进行变换 M = S-1MS (2.1-4 ) 那么 M’就称作 M 的相似变换. 等价表示 两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示. 记作 DG~ DG’.由于矩阵之间的关系不受相似变换的影响,所 以把一切等价的表示都认为是相同的表示. 要证明对于群G的一个表示DG进行相似变换后得到的DG’ 仍为群 G 的一个表示.即证明,当 D(A)D(B)=D(C)时, D’(A)D’(B)=D’(C) 亦成立.其中 A,B是群 G 中的任意元, C = AB . 证明:根据定义 D’(A)D’(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S) = S-1D(A)D(B) S = S-1D(C)S= D’(C) 例: 将 d3 群的各元(D3群的表示),用幺正矩阵 作相似变换,得到新的表示为 (2)幺正表示 幺正矩阵 如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵 U 的复共轭 转置矩阵?* , U就称作幺正矩阵.由于?* = U+ , ,所以当U-1 = U+时, U就是幺正矩阵. 任何一个实正交矩阵R是幺正的.因为 R 是正交的,所 以 ,由于R是实的,所以 (2.1-5 ) 幺正表示 若群G 的一个矩阵表示中,所有的矩阵都 是幺正的,那么这个表示就称为群 G 的一个幺正表示

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