3.3二元函数的分布.pptVIP

第三节 二维随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们学习了二维随机变量，来进一步讨论: 当二维随机变量X, Y的联合分布已知 时，如何求出它们的函数 Z=g(X, Y) 的联合分布? g(xi,yj) pij (xi,yj) … … g(x1,y2) g(x1,y1) Z=g(X,Y) … … p12 p11 p … … (x1,y2) (x1,y1) (X,Y) 一、离散型分布的情形 设二维离散型随机变量(X，Y)， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P(Z＝zk)＝ ＝pk , k＝1, 2, … 或 例1 设（X,Y)的概率分布为： 0.1 0 0.15 2 0.1 0.05 0.3 1 0 0.2 0.1 0 2 0 -1 Y X 求 的概率分布。 4 0 -2 2 0 -1 0 0 0 XY 4 2 1 3 1 0 2 0 -1 X+Y 0.1 0 0.15 0.1 0.05 0.3 0 0.2 0.1 p (2,2) (2,0) (2,-1) (1,2) (1,0) (1,-1) (0,2) (0,0) (0,-1) (X,Y) 0.1 0.1 0 0.2 0.5 0.1 p 4 3 2 1 0 -1 ξ=X+Y 0.1 0.1 0.35 0.3 0.15 p 4 2 0 -2 -1 η=XY 因此，X+Y与XY的分布列分别为 例2 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 此即离散 卷积公式 r=0,1,2, … 同书中P95例3.3.2 解：依题意 例3 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… 由卷积公式 即Z服从参数为 的泊松分布(可加性). r =0,1，… 同书中P96例3.3.3. 例4 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法: 同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p. 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p). 二、连续型分布的情形 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合 概率密度为f(x,y),z=g(X,Y)为连续函数， 则z=g(X,Y)为一维r.v.,它的分布函数为 -----分布函数法 例5 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令u=x+y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 同课后习题三15 用类似的方法可以证明: 若X